Unstable cohomology of $\mathsf{GL}_{2n}(\mathbb{Z})$ and the odd commutative graph complex

Resumen Técnico: Cohomología Inestable de $GL_{2n}(\mathbb{Z})$ y el Complejo de Grafos Conmutativo Impar

Planteamiento del Problema
Este artículo investiga la construcción de clases de cohomología explícitas en dos dominios matemáticos distintos pero relacionados: la cohomología con soporte compacto del espacio localmente simétrico $P_{2n}/GL_{2n}(\mathbb{Z})$ con coeficientes en el fibrado de orientación, y la cohomología del complejo de grafos conmutativo impar $GC_3$. Los autores abordan la escasez de clases no triviales conocidas en el rango inestable para $GL_{2n}(\mathbb{Z})$ (específicamente para $n$ par) y la comprensión limitada de la cohomología de $GC_3$ en grados por debajo de $k=-3$. El desafío central es construir representantes explícitos para estas clases y establecer un vínculo geométrico entre las formas diferenciales invariantes en espacios simétricos y los invariantes de grafos combinatorios.

Metodología
Los autores emplean un marco unificado basado en la forma invariante de Pfaffiano definida en el espacio $P_{2n}$ de matrices simétricas definidas positivas de rango $2n$.

1. Formas de Pfaffiano en Espacios Simétricos:
   Los autores definen una forma diferencial cerrada $\phi_{2n}$ en $P_{2n}$ utilizando el Pfaffiano de la matriz $dX \cdot X^{-1} \cdot dX$, normalizada por $\sqrt{\det X}$. Esta forma se transforma mediante el signo del determinante bajo la acción de $GL_{2n}(\mathbb{R})$, lo que la convierte en una forma de orientación. Los autores analizan el comportamiento asintótico de $\phi_{2n}$ y sus productos con las formas invariantes canónicas $\beta_{4k+1} = \text{tr}((X^{-1}dX)^{4k+1})$ cerca de la frontera de la compactificación de Borel-Serre. Utilizan un complejo de formas diferenciales con singularidades de raíz cuadrada integrables para extender estas formas a la frontera, permitiendo así la definición de clases de cohomología con soporte compacto.

2. Complejos de Grafos y Mapas de Torelli Tropicales:
   El artículo interpreta estas formas de Pfaffiano en el módulo de grafos métricos. Para un grafo $G$, el espacio de longitudes de arista positivas se mapea al espacio de matrices definidas positivas mediante el Laplaciano del grafo dual $\Lambda_C$, el cual depende de una elección de base de ciclos $C$. Al extraer las formas de Pfaffiano y las formas canónicas mediante este mapa, los autores construcen formas diferenciales en el simplex de longitudes de arista $\sigma_G$.

3. Integración y Coclíclas:
   Los autores definen funcionales lineales $I(\omega): GC_3 \to \mathbb{R}$ integrando la extracción de estas formas sobre el simplex $\sigma_G$. Utilizan el teorema de Stokes en la compactificación del simplex para relacionar el coborde de estos funcionales con los corchetes de Lie en el complejo de grafos. Específicamente, identifican una "suma de dipolos" $m$ que surge de los términos de frontera, la cual actúa como un giro (twist) en el diferencial.

Contribuciones Clave y Resultados

• Cohomología Inestable de $GL_{2n}(\mathbb{Z})$:
  Los autores construyen una familia infinita de clases no triviales en la cohomología con soporte compacto $H^\bullet_c(P_{2n}/GL_{2n}(\mathbb{Z}); \mathcal{O})$.

  • Definen un espacio vectorial bigraduado $\Omega_c[\phi](2n)$ generado por formas de "tipo compacto" (productos de las formas $\beta$ y $\phi_{2n}$).
  • Teorema 1.1: Demuestran la existencia de un mapa inyectivo canónico desde el álgebra simétrica sobre estas formas hacia la cohomología con soporte compacto.
  • Teorema 1.2: Al demostrar que estas formas son primitivas con respecto a una estructura de álgebra de Hopf en la cohomología (introducida recientemente en [AMP24]), deducen que la cohomología contiene el álgebra simétrica generada por estas formas de orientación. Esto proporciona una gran cantidad de nueva cohomología inestable para $GL_{2n}(\mathbb{Z})$ donde $n$ es par.

• Cohomología del Complejo de Grafos Impar ($GC_3$):
  Los autores construyen cociclos explícitos en $GC_3$ utilizando las formas de Pfaffiano de "tipo no compacto".

  • Teorema 1.3: Demuestran la convergencia absoluta de las integrales $I_G(\omega)$ para grafos con números de ciclos pares.
  • Teorema 1.4: Establecen una relación de Stokes que vincula el coborde de las coformas $I(\omega)$ con el corchete de Lie con una suma de dipolos específica $m$, proporcionando un origen geométrico para el diferencial girado en $GC_3$.
  • Teorema 1.7: Mediante computación explícita, demuestran que la clase definida por la integral de la forma $\beta_5$ (asociada a una combinación lineal específica de 20 grafos con 6 ciclos y 12 aristas) es no nula en $H^{-6}(GC_3) \otimes \mathbb{R}$. Dado que $\dim H^{-6}(GC_3) = 1$, esta clase genera todo el grupo de cohomología en ese grado.

• Dualidad y Distinción:
  El artículo destaca una dualidad sorprendente: las formas de "tipo compacto" generan la cohomología de $GL_{2n}(\mathbb{Z})$ pero se anulan al integrarse sobre grafos (debido a los teoremas de anulación para grafos con bajos órdenes de ciclos). Por el contrario, las formas de "tipo no compacto" mapean a cero en la cohomología de $GL_{2n}(\mathbb{Z})$ (debido a la anulación de la clase de Euler) pero producen clases no triviales en $GC_3$.

Significado
El artículo afirma proporcionar la primera construcción explícita de clases de cohomología no triviales para $GL_{2n}(\mathbb{Z})$ en el rango inestable para $n$ par, explicando la estructura de estas clases mediante un álgebra simétrica de formas de Pfaffiano. Además, ofrece una explicación geométrica del origen del diferencial girado en el complejo de grafos impar y el identifica explícitamente una clase de cohomología no trivial en $H^{-6}(GC_3)$, la cual era previamente conocida solo por conteos de dimensión. El trabajo cierra la brecha entre la topología de los espacios localmente simétricos y la combinatoria de los complejos de grafos, revelando que las formas "no compactas", que son triviales en el contexto del espacio simétrico, son la fuente de la topología no trivial en el complejo de grafos. Los autores señalan que, si bien las integrales para $GC_3$ pueden producir números complejos que involucran polilogaritmos, la clase no trivial específica identificada en $H^{-6}(GC_3)$ se simplifica a una expresión de peso 3 homogénea.