Potential weights and implicit causal designs in linear regression

Resumen Técnico: Pesos Potenciales y Diseños Causales Implícitos en la Regresión Lineal

1. Planteamiento del Problema

Los investigadores aplicados utilizan frecuentemente la regresión lineal para estimar efectos causales, justificando la interpretación a través de la variación cuasi-experimental del tratamiento, mientras dejan implícitos los supuestos sobre el proceso de asignación del tratamiento. Existe una tensión central: las especificaciones de regresión a menudo se asemejan a modelos estructurales de resultados, pero su validez causal se deriva enteramente de los supuestos sobre cómo se asigna el tratamiento $W$. Como señaló Freedman (2008), la aleatorización no justifica intrínsecamente los supuestos detrás del modelo de Mínimos Cuadrados Ordinarios (OLS).

Si bien la literatura (por ejemplo, Angrist y Pischke, 2008; Angrist, 1998; Lin, 2013) sugiere que los estimadores comunes suelen poseer interpretaciones simples e independientes del modelo, este optimismo es delicado. Especificaciones particulares pueden arrojar efectos promedio del tratamiento ponderados (WATE) interpretables bajo ciertos procesos de asignación, pero pueden producir estimandos ininterpretables o con pesos negativos bajo otros. El artículo aborda la falta de un marco general para determinar:

1. Bajo qué supuestos de asignación de tratamiento una regresión dada admite una interpretación cuasi-experimental.
2. Qué contraste causal específico (estimando) apunta la regresión ante la heterogeneidad.
3. Qué tan deficientes se vuelven las estimaciones cuando estos supuestos implícitos están mal especificados.

2. Metodología y Marco de Trabajo

El artículo formaliza una perspectiva basada en el "diseño", tratando las covariables $(x_i)$ y los resultados potenciales $y_i(\cdot)$ como fijos y aislando la aleatoriedad en la asignación del tratamiento $W_i$. La innovación central es la descomposición del requisito cuasi-experimental en dos preguntas distintas respecto al verdadero proceso de asignación $\pi^*$.

El Criterio de Cuasi-Experimental Mínimo (MQE):
El artículo define un estimando de regresión $\tau$ como mínimamente cuasi-experimental si es un contraste de resultados potenciales individuales (es decir, un promedio ponderado de efectos de tratamiento) independientemente de la configuración de los resultados potenciales. Esto impone una "independencia de nivel": desplazar todos los resultados potenciales de una unidad por una constante no debe cambiar el estimando.

Pesos Potenciales y Diseños Implícitos:
El estimando de la regresión poblacional $\tau$ puede expresarse como una agregación lineal de resultados potenciales:
$$\tau = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sum_{w \in \mathcal{W}} \pi^*_i(w) \rho_i(w) y_i(w)$$
donde $\rho_i(w) = \Lambda G_n^{-1} z(x_i, w)$ son los pesos potenciales, determinados únicamente por la especificación de la regresión y la matriz de Gram poblacional $G_n$.

Para que $\tau$ sea mínimamente cuasi-experimental, los pesos asignados a los resultados potenciales deben sumar cero a través de los niveles de tratamiento para cada unidad. Esto impone restricciones lineales sobre las verdaderas probabilidades de asignación $\pi^*_i$:
$$\sum_{w \in \mathcal{W}} \pi^*_i(w) \rho_i(w) = 0 \quad \text{y} \quad \sum_{w \in \mathcal{W}} \pi^*_i(w) = 1$$

Las soluciones a estas ecuaciones lineales se denominan diseños implícitos.

• [MQE-1] Existencia: ¿Existe una distribución de probabilidad válida $\pi$ que satisfaga estas restricciones lineales?
• [MQE-2] Corrección: ¿Es el proceso de asignación verdadero $\pi^*$ igual a uno de estos diseños implícitos?

Interpretación Cuasi-Experimental Aproximada:
Cuando las condiciones exactas fallan, el artículo establece una equivalencia numérica entre el estimador OLS y un estimador de Ponderación de Propensión Inversa Aumentada (AIPW). La brecha entre el estimador OLS y un estimador AIPW (que apunta a un diseño específico $\tilde{\pi}$) es proporcional a la covarianza empírica entre los residuos de la regresión y el grado en que $\tilde{\pi}$ viola las restricciones del diseño implícito. Por lo tanto, el OLS es aproximadamente cuasi-experimental si la malespecificación del modelo de tratamiento no está correlacionada con la malespecificación del modelo de resultados.

3. Contribuciones Clave y Resultados Teóricos

Unificación y Resultados Conversos:
El marco unifica resultados dispares en la literatura (por ejemplo, Angrist, 1998; Goldsmith-Pinkham et al., 2024; Athey y Imbens, 2022) al mostrar que sus diseños y estimandos propuestos son precisamente los diseños implícitos y los estimandos implícitos derivados de la especificación de la regresión. Crucialmente, el artículo proporciona resultados conversos: una regresión admite una interpretación cuasi-experimental si y solo si el diseño verdadero coincide con el diseño implícito único.

Hallazgos de Especificaciones Particulares:

• Tratamiento Binario con Covariables: Para $Y_i = \tau W_i + x_i'\gamma + \epsilon_i$, el diseño implícito requiere que la puntuación de propensión sea lineal en las covariables ($\pi_i = x_i'\delta$). El estimando es un WATE con pesos proporcionales a $\pi_i(1-\pi_i)$.
• Regresiones con Interacciones: Para especificaciones que interactúan el tratamiento con las covariables ($Y_i = \tau_0 W_i + \tau_1' W_i x_i + \dots$), la interpretación cuasi-experimental exacta es altamente frágil. Requiere que tanto la puntuación de propensión como su interacción con las covariables sean lineales en las demás covariables. Esta condición generalmente falla a menos que las covariables sean saturadas, lo que implica que las regresiones con interacciones a menudo carecen de una interpretación causal defendible.
• Efectos Fijos de Dos Vías (TWFE): Las regresiones TWFE con covariables variantes en el tiempo generalmente fallan en admitir un diseño implícito a menos que las trayectorias de tratamiento sean totalmente aleatorias o las covariables satisfagan condiciones restrictivas de espacio lineal.
• Mínimos Cuadrados en Dos Etapas (TSLS): El marco se extiende a TSLS, recuperando las condiciones necesarias para los patrones de cumplimiento (por ejemplo, monotonicidad fuerte para instrumentos binarios) como requisitos para que el estimando implícito asigne pesos adecuados.

4. Resultados Empíricos

Censo Asistido por IA:
Un análisis de 1,051 artículos de la American Economic Review y American Economic Journal: Applied Economics (2020–2026) revela que la regresión cuasi-experimental es omnipresente. Sin embargo:

• Los profesionales rara vez utilizan métodos modernos de inferencia causal (IPW, matching, DML).
• Los estimandos objetivo explícitos rara vez se nombran (solo 9 de 98 artículos sobre no confusión).
• Una parte significativa de los estudios utiliza especificaciones con interacciones o TWFE con covariables variantes en el tiempo, los cuales, según los resultados teóricos, son vulnerables a hallazgos negativos respecto a la interpretación causal.

Reanálisis Diagnóstico de Nueve Estudios:
El artículo reanaliza nueve estudios recientes utilizando los diagnósticos propuestos:

1. Interpretación Exacta: En los nueve casos, la interpretación cuasi-experimental exacta es rechazada. Los diseños implícitos estimados a menudo producen puntuaciones de propensión fuera del intervalo $[0, 1]$, y las pruebas RESET de Ramsey rechazan decisivamente la linealidad de la verdadera puntuación de propensión.
2. Interpretación Aproximada: A pesar del rechazo de las condiciones exactas, la mayoría de los estudios parecen aproximadamente cuasi-experimentales. La covarianza entre las discrepancias de diseño y los residuos de la regresión es típicamente pequeña, lo que significa que los estimadores OLS permanecen cerca de los estimadores AIPW para diseños alternativos razonables.
3. Excepciones: Un estudio (Ang, 2023) muestra una gran discrepancia donde las estimaciones alternativas de la puntuación de propensión cambian el resultado de OLS en más de dos errores estándar, indicando que el fallo del modelo implícito es consecuente en ese contexto específico.
4. Representatividad: Muchas aplicaciones sufren de un pobre solapamiento (overlap), lo que significa que el estimando implícito agrega sobre una pequeña fracción de la población. El recorte por solapamiento mejora la representatividad, pero a menudo deja los estimandos representativos de una subpoblación minoritaria.

5. Significancia y Reivindicaciones

El artículo afirma proporcionar un marco general y automatizable para evaluar la validez de las afirmaciones causales derivadas de la regresión lineal. Su principal significancia radica en:

• Formalizar el Modelo Implícito: Demuestra que el uso de una regresión para la inferencia causal selecciona implícitamente un modelo específico de asignación de tratamiento (el diseño implícito) y un pesaje específico de efectos heterogéneos (el estimando implícito).
• Desafiar el Optimismo: Sugiere que el "optimismo" de Angrist y Pischke (2008) respecto a la robustez de la regresión no está universalmente justificado. Las interpretaciones cuasi-experimentales exactas son a menudo frágiles, particularmente en modelos con interacciones y TWFE.
• Utilidad Práctica: Aunque las interpretaciones exactas suelen fallar, el marco permite evaluar la validez aproximada y la representatividad de sus estimandos. Los autores argumentan que el análisis empírico transparente debe implicar la estimación y el reporte explícito de los diseños y estimandos implícitos para hacer visibles estas hipótesis ocultas.

El artículo concluye que, si bien la regresión suele servir como un estimador razonable en la práctica debido a la baja correlación entre las malespecificaciones de los modelos, los supuestos implícitos que impone son no triviales y deben hacerse explícitos en lugar de dejarse a una justificación informal.