Potential weights and implicit causal designs in linear regression

Résumé Technique : Poids Potentiels et Designs Causaux Implicites dans la Régression Linéaire

1. Énoncé du Problème

Les chercheurs appliqués utilisent fréquemment la régression linéaire pour estimer des effets causaux, justifiant l'interprétation par la variation quasi-expérimentale du traitement tout en laissant implicites les hypothèses concernant le processus d'assignation du traitement. Une tension centrale existe : les spécifications de régression ressemblent souvent à des modèles de résultats structurels, pourtant leur validité causale découle entièrement des hypothèses sur la manière dont le traitement $W$ est assigné. Comme le note Freedman (2008), la randomisation ne justifie pas intrinsèquement les hypothèses sous-jacentes au modèle de Moindres Carrés Ordinaires (MCO).

Bien que la littérature (par exemple, Angrist et Pischke, 2008 ; Angrist, 1998 ; Lin, 2013) suggère que les estimateurs communs possèdent souvent des interprétations simples et indépendantes du modèle, cet optimisme est délicat. Des spécifications spécifiques peuvent produire des effets de traitement moyens pondérés (WATE) interprétables sous certains processus d'assignation, mais produire des estimands non interprétables ou à poids négatifs sous d'autres. L'article traite de l'absence d'un cadre général pour déterminer :

1. Sous quelles hypothèses d'assignation de traitement une régression donnée admet une interprétation quasi-expérimentale.
2. Quel contraste causal spécifique (estimand) la régression cible en présence d'hétérogénéité.
3. À quel point les estimations deviennent erronées lorsque ces hypothèses implicites sont mal spécifiées.

2. Méthodologie et Cadre

L'article formalise une perspective « basée sur le design », traitant les covariables $(x_i)$ et les résultats potentiels $y_i(\cdot)$ comme fixes et isolant l'aléa dans l'assignation du traitement $W_i$. L'innovation centrale est la décomposition de l'exigence quasi-expérimentale en deux questions distinctes concernant le véritable processus d'assignation $\pi^*$.

Le Critère de Quasi-Expérimentation Minimale (MQE) :
L'article définit un estimand de régression $\tau$ comme minimalement quasi-expérimentale s'il s'agit d'un contraste de résultats potentiels individuels (c'est-à-dire une moyenne pondérée d'effets de traitement) quel que soit la configuration des résultats potentiels. Cela impose une « indépendance de niveau » : déplacer tous les résultats potentiels d'une unité par une constante ne doit pas modifier l'estimand.

Poids Potentiels et Designs Implicites :
L'estimand de la régression de population $\tau$ peut être exprimé comme une agrégation linéaire de résultats potentiels :
$$\tau = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sum_{w \in \mathcal{W}} \pi^*_i(w) \rho_i(w) y_i(w)$$
où $\rho_i(w) = \Lambda G_n^{-1} z(x_i, w)$ sont des poids potentiels, déterminés uniquement par la spécification de la régression et la matrice de Gram de la population $G_n$.

Pour que $\tau$ soit minimalement quasi-expérimentale, les poids assignés aux résultats potentiels doivent sommer à zéro à travers les niveaux de traitement pour chaque unité. Cela impose des restrictions linéaires sur les probabilités d'assignation réelles $\pi^*_i$ :
$$\sum_{w \in \mathcal{W}} \pi^*_i(w) \rho_i(w) = 0 \quad \text{et} \quad \sum_{w \in \mathcal{W}} \pi^*_i(w) = 1$$

Les solutions de ces équations linéaires sont nommées designs implicites.

• [MQE-1] Existence : Existe-t-il une distribution de probabilité valide $\pi$ satisfaisant ces restrictions linéaires ?
• [MQE-2] Correction : Le processus d'assignation réel $\pi^*$ est-il égal à l'un de ces designs implicites ?

Interprétation Quasi-Expérimentale Approximative :
Lorsque les conditions exactes échouent, l'article établit une équivalence numérique entre l'estimateur MCO et un estimateur de Pondération par l'Inverse de la Propension Augmentée (AIPW). L'écart entre l'estimateur MCO et un estimateur AIPW (ciblant un design spécifique $\tilde{\pi}$) est proportionnel à la covariance empirique entre les résidus de la régression et le degré auquel $\tilde{\pi}$ viole les restrictions du design implicite. Ainsi, le MCO est approximativement quasi-expérimental si la spécification erronée du modèle de traitement est non corrélée avec la spécification erronée du modèle de résultat.

3. Contributions Clés et Résultats Théoriques

Unification et Résultats Converses :
Le cadre unifie des résultats disparates dans la littérature (par exemple, Angrist, 1998 ; Goldsmith-Pinkham et al., 2024 ; Athey et Imbens, 2022) en montrant que leurs designs et estimands proposés sont précisément les designs implicites et les estimands implicites dérivés de la spécification de régression. Crucialement, l'article fournit des résultats inverses : une régression admet une interprétation quasi-expérimentale si et seulement si le design réel correspond au design implicite unique.

Résultats sur les Spécifications Spécifiques :

• Traitement Binaire avec Covariables : Pour $Y_i = \tau W_i + x_i'\gamma + \epsilon_i$, le design implicite exige que le score de propension soit linéaire dans les covariables ($\pi_i = x_i'\delta$). L'estimand est un WATE avec des poids proportionnels à $\pi_i(1-\pi_i)$.
• Régressions avec Interactions : Pour les spécifications interagissant le traitement avec les covariables ($Y_i = \tau_0 W_i + \tau_1' W_i x_i + \dots$), l'interprétation quasi-expérimentale exacte est extrêmement fragile. Elle nécessite que le score de propension et son interaction avec les covariables soient tous deux linéaires dans les covariables restantes. Cette condition échoue généralement à moins que les covariables ne soient saturées, impliquant que les régressions avec interactions manquent souvent d'une interprétation causale défendable.
• Effets Fixes Bidirectionnels (TWFE) : Les régressions TWFE avec des covariables variant dans le temps échouent généralement à admettre un design implicite, à moins que les trajectoires de traitement ne soient totalement randomisées ou que les covariables ne satisfassent des conditions de span linéaire restrictives.
• Moindres Carrés Doubles Moindres (TSLS) : Le cadre s'étend au TSLS, récupérant les conditions nécessaires pour les modèles de conformité (par exemple, la monotonicité forte pour les instruments binaires) comme étant des exigences pour que l'estimand implicite assigne des poids appropriés.

4. Résultats Empiriques

Censeur Assisté par l'IA :
Une analyse de 1 051 articles de l'American Economic Review et de l'American Economic Journal: Applied Economics (2020–2026) révèle que la régression quasi-expérimentale est omniprésente. Cependant :

• Les praticiens utilisent rarement les méthodes modernes d'inférence causale (IPW, appariement, DML).
• Les estimands cibles explicites sont rarement nommés (seulement 9 articles sur 98 traitant de l'absence de confusion/unconfoundedness).
• Une partie significative des études utilise des spécifications avec interactions ou des TWFE avec des covariables variant dans le temps, ce qui, selon les résultats théoriques, les rend vulnérables à des conclusions négatives concernant l'interprétation causale.

Réanalyse Diagnostique de Neuf Études :
L'article réanalyse neuf études récentes en utilisant les diagnostics proposés :

1. Interprétation Exacte : Dans les neuf cas, l'interprétation quasi-expérimentale exacte est rejetée. Les scores de propension des designs implicites estimés donnent souvent des probabilités hors de l'intervalle $[0, 1]$, et les tests RESET de Ramsey rejettent de manière décisive la linéarité du score de propension réel.
2. Interprétation Approximative : Malgré le rejet des conditions exactes, la plupart des études semblent approximativement quasi-expérimentales. La covariance entre les écarts de design et les résidus de la régression est typiquement faible, ce qui signifie que les estimations MCO restent proches des estimations AIPW pour des designs alternatifs raisonnables.
3. Exceptions : Une étude (Ang, 2023) montre un écart important où les estimations alternatives du score de propension modifient le résultat MCO de plus de deux erreurs standards, indiquant que l'échec du modèle implicite est conséquent dans ce contexte spécifique.
4. Représentativité : De nombreuses applications souffrent d'un faible chevauchement (overlap), ce qui signifie que l'estimand implicite agrège sur une petite fraction de la population. Le fait de tronquer pour le chevauchement améliore la représentativité, mais laisse souvent les estimations représentatives d'une sous-population minoritaire.

5. Signification et Revendications

L'article affirme fournir un cadre général et automatisable pour évaluer la validité des affirmations causales dérivées de la régression linéaire. Sa principale signification réside dans :

• La Formalisation du Modèle Implicite : Il démontre que l'utilisation d'une régression pour l'inférence causale sélectionne implicitement un modèle spécifique d'assignation de traitement (le design implicite) et un poids spécifique des effets hétérogènes (l'estimand implicite).
• La Remise en Question de l'Optimisme : Il suggère que l'« optimisme » d'Angrist et Pischke (2008) concernant la robustesse de la régression n'est pas universellement justifié. Les interprétations quasi-expérimentales exactes sont souvent fragiles, particulièrement dans les modèles avec interactions et TWFE.
• Utilité Pratique : Bien que les interprétations exactes échouent souvent, le cadre permet d'évaluer la validité approximative et la représentativité de leurs estimands. Les auteurs soutiennent qu'une analyse empirique transparente doit impliquer l'estimation et le rapport explicites des designs et des estimands implicites afin de rendre ces hypothèses cachées visibles.

L'article conclut que si la régression sert souvent d'estimateur raisonnable en pratique en raison d'une faible corrélation entre les erreurs de spécification, les hypothèses implicites qu'elle impose sont non triviales et devraient être rendues explicites plutôt que laissées à une justification informelle.