The dynamics of the Hesse derivative on the $j$-invariant

Aquí presento un resumen técnico detallado del artículo "The dynamics of the Hesse derivative on the j-invariant" (La dinámica de la derivada de Hesse en el invariante j), escrito por Jake Kettinger.

1. Planteamiento del Problema

El artículo se centra en el estudio de la dinámica de una función racional específica definida sobre la esfera de Riemann ($\hat{\mathbb{C}}$), que relaciona el invariante $j$ de una curva elíptica con el invariante $j$ de su derivada de Hesse.

• Función Principal: La función dinámica es $H: \hat{\mathbb{C}} \to \hat{\mathbb{C}}$, definida como:
  $$H(j) = \frac{(6912 - j)^3}{27j^2}$$
• Contexto Geométrico: Dada una curva cúbica $C$ (específicamente una curva elíptica) definida por un polinomio homogéneo $f$, su derivada de Hesse $H_C$ es la curva definida por el determinante de la matriz Hessiana de $f$. El objetivo es entender cómo la operación $C \mapsto H_C$ afecta al invariante $j$ y, posteriormente, cómo la dinámica de la función $H(j)$ se refleja en la dinámica de las curvas elípticas mismas bajo iteración de la derivada de Hesse.
• Pregunta Central: ¿Cuándo es una curva elíptica isomorfa a su $n$-ésima derivada de Hesse ($H^n C \cong C$) y cómo se relaciona el tamaño de la órbita del invariante $j$ bajo $H$ con el tamaño de la órbita de la curva $C$ bajo la derivada de Hesse?

2. Metodología

El autor emplea una combinación de álgebra computacional, teoría de números, geometría algebraica y teoría de sistemas dinámicos complejos:

• Derivación Algebraica: Se proporciona una prueba directa para calcular el invariante $j(H_C)$ en términos de $j(C)$, partiendo de la forma de Weierstrass de la curva. Se utilizan transformaciones lineales de coordenadas para llevar la derivada de Hesse de nuevo a forma de Weierstrass.
• Análisis Dinámico: Se estudian las propiedades de la función racional $H(j)$, incluyendo:
  • Puntos fijos y periódicos.
  • Puntos preperiódicos y críticos.
  • El conjunto de Julia $J(H)$.
  • El multiplicador de los ciclos.
• Conteo Combinatorio: Se utiliza la fórmula de inversión de Möbius para contar el número exacto de órbitas de un tamaño dado $n$ bajo la iteración de $H$.
• Teoría de Fibrados y Grupos de Automorfismos: Se analiza el "lápiz de Hesse" (Hesse pencil) inducido por una curva elíptica. Se utiliza el grupo de Hesse ($G_{216}$) y su acción sobre el lápiz para demostrar que si el invariante $j$ es periódico, la curva misma debe ser periódica bajo la derivada de Hesse.
• Experimentación Computacional: Se utiliza software como Mathematica y Macaulay2 para verificar casos específicos, calcular polinomios mínimos de invariantes $j$ y generar tablas de datos comparando tamaños de órbitas.

3. Contribuciones Clave y Resultados

A. Propiedades de la Función $H(j)$

• Puntos Fijos y Críticos: Se identifican los puntos fijos de $H$ en $\mathbb{C}$ como $1728$ y dos raíces complejas específicas. El punto $\infty$ (correspondiente a un trilateral) también es fijo.
• Conjunto de Julia: Se demuestra que $H$ es una función post-críticamente finita (PCF) sin puntos críticos periódicos. Sus puntos críticos son $6912$, $-13824$y$0$, todos los cuales son preperiódicos. Como consecuencia, el conjunto de Julia de $H$ es toda la esfera de Riemann ($J(H) = \hat{\mathbb{C}}$).
• Repulsión: Todos los puntos fijos son repelentes (sus multiplicadores tienen módulo mayor que 1).

B. Conteo de Órbitas (Teorema 1)

El autor deriva una fórmula cerrada para el número de órbitas de tamaño $n$ ($B_n$) de la función $H$ sobre $\mathbb{C}$.

• Se establece que el grado de la $n$-ésima composición $H^n$ es $3^n$.
• La fórmula resultante es:
  $$B_n = \frac{1}{n} \sum_{d|n} \mu(d) 3^{n/d}$$
  donde $\mu$ es la función de Möbius. Esta secuencia corresponde a la OEIS A027376.

C. Periodicidad de Curvas Elípticas (Teorema 2)

Este es uno de los resultados más significativos del trabajo:

• Teorema: Si el invariante $j(E)$ de una curva elíptica $E$ es un punto periódico de orden $p$ bajo la función $H$, entonces existe un entero $n$ tal que $H^n E \cong E$ (la curva es periódica bajo la derivada de Hesse).
• Límite Superior: El tamaño de la órbita de la curva $E$ es a lo sumo $3p$ veces el tamaño de la órbita de su invariante $j$.
• No Biyectividad: Se demuestra que el tamaño de la órbita de $j$ no determina unívocamente el tamaño de la órbita de la curva. Por ejemplo, existen curvas con $j$ fijo (órbita 1) que tienen órbitas de curva de tamaño 2 o 3.

D. Datos Empíricos y Tablas

El artículo incluye tablas detalladas que comparan:

• El tamaño de la órbita del invariante $j$ bajo $H$.
• El tamaño de la órbita de la curva elíptica $E$ bajo la derivada de Hesse.
• Los polinomios mínimos de los invariantes $j$ (escalados por 6912).
  Los datos revelan casos donde el tamaño de la órbita de la curva es igual al de su invariante, una propiedad no trivial que no se cumple en todos los casos.

4. Significado y Preguntas Abiertas

Significado:
El trabajo conecta profundamente la geometría algebraica clásica (curvas cúbicas, derivadas de Hesse) con la teoría moderna de sistemas dinámicos en la esfera de Riemann. Proporciona una comprensión cuantitativa de cómo las simetrías de las curvas elípticas interactúan con la operación de derivada de Hesse, estableciendo un puente entre la aritmética de los invariantes $j$ y la geometría de las curvas mismas.

Preguntas Abiertas y Trabajo Futuro:
El autor concluye planteando varias cuestiones para investigación futura:

1. Cálculo del Mínimo $n$: ¿Cómo se puede calcular el menor entero positivo $n$ tal que $H^n E = E$ dado el orden $p$ de $j(E)$?
2. Anillos de Endomorfismos: ¿Podemos clasificar todas las curvas elípticas $E$ para las cuales el anillo de endomorfismos se preserva, es decir, $\text{End}(E) = \text{End}(H_E)$?
3. Convergencia $p$-ádica: ¿Para qué valores racionales de $j$ y primos $q$ converge la secuencia $H^n(j)$ en la métrica $q$-ádica?
4. Conjetura de Distribución: Se propone una conjetura sobre la distribución asintótica de los valores de la iteración $H^n(j)$ en el dominio real, sugiriendo que los valores caen en tres regiones (negativos, entre 0 y 6912, y mayores que 6912) con una frecuencia relativa de $1/3$ para cada una.

En resumen, el artículo ofrece una caracterización rigurosa de la dinámica inducida por la derivada de Hesse, proporcionando herramientas para contar órbitas y demostrando que la periodicidad del invariante $j$ implica la periodicidad de la curva, aunque con posibles amplificaciones en el tamaño de la órbita debidas a la estructura del grupo de automorfismos del lápiz de Hesse.