The Second Moment of Rankin-Selberg $L$-Functions in Conductor-Dropping Regimes

Resumen Técnico: El segundo momento de las funciones L de Rankin–Selberg en regímenes de caída de conductor

Planteamiento del problema
Este artículo aborda el comportamiento asintótico del segundo momento de las funciones $L$ de Rankin–Selberg asociadas a la convolución de dos formas de cúspide de Hecke holomorfas, $f$ y $g$, de igual peso $k$. Específicamente, los autores investigan la suma:
$$\sum_{f \in B_{\text{hol}}^{k}} \frac{L(1/2, f \otimes g)^2}{L(1, \text{ad } f)}$$
donde $B_{\text{hol}}^{k}$ es una base ortonormal de formas de cúspide de Hecke holomorfas de peso $k$.

Este problema se sitúa dentro del contexto más amplio del problema de la subconvexidad de las funciones $L$. Una motivación primordial es la función $L$ adjunta $L(s, \text{ad } f)$, donde $g=f$. El valor central $L(1/2, \text{ad } f)$ está acotado por el límite de convexidad $k^{1/2}$, y obtener cotas de subconvexidad (ahorrando una potencia de $k$) es un problema abierto de gran envergadura. Las heurísticas estándar sugieren que una fórmula asintótica para el segundo momento con un término de error con ahorro de potencia podría facilitar resultados de subconvexidad mediante amplificación. Sin embargo, en los regímenes de "caída de conductor" (conductor-dropping)—donde el conductor analítico de $L(1/2, f \otimes g)$ cae de $k^4$ a $k^2$ porque los pesos son iguales—los métodos estándar a menudo fallan al intentar producir fórmulas asintóticas con errores de ahorro de potencia. Aunque se conocen cotas superiores de la forma $O_\epsilon(k^{1+\epsilon})$ (vía desigualdades de gran tipo de sieva), derivar una fórmula asintótica precisa con un término principal y un término de error controlado ha permanecido elusivo.

Metodología
Los autores emplean una técnica de expansión espectral que involucra la integral de periodo de cuatro formas automórficas. La estrategia central consiste en evaluar la integral
$$\int_{SL_2(\mathbb{Z})\backslash \mathbb{H}} |G(z)|^2 E^*(z, s_1) E^*(z, s_2) \, d\mu(z)$$
donde $G(z) = y^{k/2}g(z)$ y $E^*(z, s)$ es la serie de Eisenstein real-analítica completada. Esta integral se expande espectralmente de dos maneras distintas:

1. Primera expansión espectral (Peso $k$): La integral se ve como el producto interno $\langle G E^*(\cdot, s_1), G E^*(\cdot, s_2) \rangle$. Utilizando la identidad de Parseval para formas de cúspide holomorfas, formas de cúspide de Maass y series de Eisenstein de peso $k$, los autores la expanden en términos de estas. Esto produce una suma que involucra el momento objetivo $M_{\text{hol}}$ (la suma sobre formas de peso $k$) y otros términos espectrales ($M_{\text{Maass}}$, $M_{\text{Eis}}$). Los productos internos se computan explícitamente mediante el método de Rankin–Selberg, expresándolos en términos de funciones $L$ y factores Gamma.

2. Segunda expansión espectrál (Peso 0): La integral se ve como el producto interno $\langle E^*(\cdot, s_1) E^*(\cdot, s_2), |G|^2 \rangle$. Dado que las series de Eisenstein no son cuadráticamente integrables, los autores utilizan una versión regularizada de la identidad de Parseval (siguiendo a Zagier). Esta expansión involucra el espectro continuo y el espectro discreto de las formas de peso 0. Crucialmente, los productos internos que involucran $|G|^2$ y formas de Maass se evalúan utilizando la fórmula de producto triple de Watson–Ichino, que relaciona estos integrales con valores centrales de funciones $L$ de producto triple.

Al igualar los resultados de estas dos expansiones, los autores derivan una identidad exacta que relaciona el momento objetivo con un "término principal" (que surge del espectro continuo y los residuos) y varios términos de error que involucran sumas espectrales.

Contribuciones clave y resultados
El artículo establece el siguiente teorema principal (Teorema 1.4):

• Fórmula Asintótica: Para una forma de cúspide de Hecke holomorfa $g$ fija de peso $k$, el segundo momento satisface:
  $$\sum_{f \in B_{\text{hol}}^{k}} \frac{L(1/2, f \otimes g)^2}{L(1, \text{ad } f)} = k \sum_{j=0}^3 P_j(\log k) L^{(3-j)}(1, \text{ad } g) + O_\epsilon(k (\log k)^{-1/2 + \epsilon})$$
  donde $P_j$ son polinomios de grado $j$.
• Análisis del Término Principal: Se demuestra que el término principal es positivo para $k$ suficientemente grande y satisface las cotas $k(\log k)^2 \ll \text{Término Principal} \ll k(\log k)^6$.
• Término de Error: El término de error logra un ahorro logarítmico, $O_\epsilon(k (\log k)^{-1/2 + \epsilon})$, en lugar de un ahorro de potencia.

Desafíos Técnicos y Soluciones
Los autores destacan dificultades específicas superadas en este trabajo:

1. Falta de ahorro de potencia en el error: Los autores demuestran que obtener un término de error con ahorro de potencia en este régimen de caída de conductor es probablemente imposible sin asumir cotas de subconvexidad preexistentes para $L(1/2, \text{ad } g)$ y sus giros de $GL_2$. Por consiguiente, la prueba depende de las cotas débiles de subconvexidad de Soundararajan para lograr el ahorro logarítmico.
2. Positividad del Término Principal: Un obstáculo técnico significativo es demostrar que el término principal domina al término de error. El término principal involucra $L(1, \text{ad } g)$ y sus derivadas, para las cuales solo se conocen cotas incondicionales débiles ($L(1, \text{ad } g) \gg (\log k)^{-1}$). Los autores eluden la posible cancelación entre los términos diagonales y fuera de la diagonal explotando una "estructura oculta". Expresan el término principal como una integral que puede compararse término a término con una representación de serie de Dirichlet, mostrando que el término $n=1$ (que es $\gg k (\log k)^2$) domina la suma.
3. Generalizaciones: Se muestra que los métodos se extienden a:
   • El aspecto de nivel (variando el nivel primo $q$ con peso fijo).
   • El aspecto espectral (promediando sobre formas de Maass con parámetro espectral en $[T, T+1]$).
   • Puntos centrales desplazados ($1/2 + it$).
   • El primer momento de funciones $L$ de producto triple (aunque demostrar que el término principal domina al error en este caso sigue siendo una dificultad abierta debido a problemas de cotas inferiores).

Significado y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar la primera fórmula asintótica para este segundo momento específico en el régimen de caída de conductor. Aunque el término de error no ahorra una potencia de $k$, el resultado es significativo porque:

• Confirma la existencia de una fórmula asintótica donde anteriormente solo se conocían cotas superiores.
• Refina la comprensión de los momentos en entornos de caída de conductor, donde las heurísticas estándar pueden ser engañosas.
• Mejora los resultados previos de cotas superiores de Blomer al proporcionar un término principal preciso y un enfoque de expansión espectral.
• Los autores declaran explícitamente que su método depende de la fórmula de Watson–Ichino, lo que limita su aplicabilidad a $GL_2$ (ya que tal fórmula no existe para $GL_n$ con $n \ge 3$), distinguiendo su enfoque de las técnicas de cotas superiores más generales de Blomer.

El artículo concluye que, si bien el resultado no proporciona inmediatamente cotas de subconvexidad (debido a la falta de ahorro de potencia en el error), representa un paso necesario para comprender la distribución de estos valores de $L$ y las restricciones estructurales de los momentos de caída de conductor.