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Empirical Measures and Strong Laws of Large Numbers in Categorical Probability

Este trabajo establece un marco categórico unificado para el teorema de Glivenko–Cantelli, la ley fuerte de los grandes números y el teorema de de Finetti mediante la introducción de "morfismos de muestreo empírico" dentro de categorías cuasi-Markov para formalizar la convergencia de medidas empíricas a partir de primeros principios.

Autores originales: Tobias Fritz, Tomáš Gonda, Antonio Lorenzin, Paolo Perrone, Areeb Shah Mohammed

Publicado 2026-05-13

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CC BY 4.0

Autores originales: Tobias Fritz, Tomáš Gonda, Antonio Lorenzin, Paolo Perrone, Areeb Shah Mohammed

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Imagina que eres un detective tratando de averiguar la "verdadera naturaleza" de una multitud misteriosa basándote únicamente en una larga lista de personas que pasan. Esto es esencialmente lo que hace la teoría de la probabilidad: intenta comprender las reglas ocultas (la distribución) que generan una secuencia de eventos aleatorios (las muestras).

Este artículo, titulado "Medidas Empíricas y Leyes Fuertes de los Grandes Números en Probabilidad Categórica", de Tobias Fritz y colegas, es una aventura matemática de alto nivel. No se limita a observar números; intenta reconstruir toda la lógica de la teoría de la probabilidad utilizando un nuevo lenguaje llamado Teoría de Categorías. Piensa en la Teoría de Categorías como un "traductor universal" que describe cómo las cosas se conectan y fluyen, en lugar de simplemente calcular números específicos.

Aquí está la historia de su descubrimiento, desglosada en conceptos y analogías simples.

1. El Problema: La secuencia "Infinita"

En el mundo real, si lanzas una moneda 1.000 veces, puedes contar cuántas caras obtuviste. Si la lanzas un millón de veces, obtienes una idea mejor. Pero, ¿qué pasa si la lanzas para siempre?

Los matemáticos han sabido durante mucho tiempo (gracias a la Ley de los Grandes Números) que si sigues lanzando una moneda, el porcentaje de caras eventualmente se estabilizará en la probabilidad real (50%). Esta es la "Ley Fuerte".

Sin embargo, hay una trampa. No toda secuencia infinita de lanzamientos de moneda se estabiliza. Algunas secuencias podrían oscilar para siempre (como 1, 0, 1, 0, 1, 0... pero con pausas cada vez más largas). Para estas secuencias "malas", no se puede definir una probabilidad real.

Los autores preguntan: ¿Podemos construir una máquina matemática que tome una secuencia infinita como entrada y devuelva la distribución de probabilidad "real", pero solo si la secuencia es "suficientemente buena" para tener una?

2. La Solución: La "Máquina de Muestreo Empírico"

Los autores proponen un nuevo tipo de objeto matemático llamado Morfismo de Muestreo Empírico.

Piensa en esto como una máquina expendedora especializada:

La Entrada: Le alimentas un flujo infinito de datos (como una larga lista de números o lanzamientos de moneda).
La Salida: Si el flujo está "bien comportado", la máquina arroja una sola muestra extraída del "promedio" de ese flujo (la medida empírica).
La Trampa: Si el flujo es caótico y nunca se estabiliza, la máquina se niega a funcionar. No te da una respuesta incorrecta; simplemente dice: "No puedo procesar esto".

En el lenguaje del artículo, esto es un morfismo parcial. Es una función que solo funciona en un subconjunto específico de entradas (las secuencias "buenas").

3. Las Reglas de la Máquina

Para asegurar que esta máquina tenga sentido, los autores le dan dos reglas estrictas (axiomas):

Regla 1: La Regla del Barajado (Invarianza bajo Permutación)
Imagina que tienes una lista de 1.000 números. Si barajas los primeros 10 números, la naturaleza "promedio" de la lista no debería cambiar. La máquina debe dar el mismo resultado independientemente del orden de la entrada, siempre que la colección general de datos sea la misma. Ignora el orden y solo mira el "conjunto" de los datos.
Regla 2: La Regla de la Autoconsistencia (Adecuación Empírica)
Esto es un poco como una prueba de espejo. Si tomas una secuencia generada por una moneda justa, la alimentas a la máquina para obtener una "moneda promedio", y luego usas ese promedio para generar una nueva secuencia, la nueva secuencia debería parecer estadísticamente idéntica a la original. La máquina debe ser consistente consigo misma.

4. El Gran Descubrimiento: Reconstruyendo la Probabilidad desde Cero

Los autores no construyeron esta máquina para un caso específico (como los lanzamientos de moneda). Construyeron un marco teórico (usando "Categorías Cuasi-Markov") que les permite demostrar tres teoremas masivos y famosos simultáneamente, utilizando solo las reglas de su máquina:

El Teorema de de Finetti: Esto dice que si una secuencia de eventos parece aleatoria y exchangeable (el orden no importa), debe haber sido generada por una distribución "promedio" oculta. Los autores demuestran que esto es una consecuencia natural de las reglas de su máquina.
El Teorema de Glivenko–Cantelli: Esta es la versión "uniforme" de la Ley de los Grandes Números. Dice que toda la forma de la distribución de datos (no solo el promedio) converge hacia la verdad.
La Ley Fuerte de los Grandes Números: El resultado clásico de que el promedio de tus muestras converge al valor esperado real.

La Magia: Por lo general, demostrar estos tres teoremas requiere matemáticas pesadas y complejas (teoría de la medida). Los autores muestran que si aceptas la existencia de su "Máquina de Muestreo Empírico" y sus dos reglas, los tres teoremas surgen automáticamente, como fichas de dominó.

5. Hacerlo Real: La Máquina "Parcial"

Un obstáculo importante fue que en el mundo real (específicamente con números reales), no siempre se puede definir esta máquina para cada secuencia infinita posible.

La Analogía: Imagina intentar calcular la altura promedio de una fila infinita de personas. Si la fila incluye a algunas personas infinitamente altas, el promedio se rompe.
La Solución: Los autores construyeron una versión específica de esta máquina para números reales (como la altura de las personas o los precios de las acciones). Definieron exactamente qué secuencias son "buenas" (aquellas donde el promedio se estabiliza y no explota hacia el infinito) y cuáles son "malas".

Demostraron que para estas secuencias "buenas", la máquina funciona perfectamente y recupera los resultados estándar que usamos en estadística hoy en día.

Resumen

En términos simples, este artículo es una teoría unificada de la aleatoriedad.

Los autores construyeron una "caja negra" conceptual (el Morfismo de Muestreo Empírico) que toma datos infinitos y devuelve la probabilidad subyacente. Al definir exactamente cómo debería comportarse esta caja (ignorando el orden y siendo autoconsistente), pudieron derivar las leyes más importantes de la probabilidad (de Finetti, Glivenko–Cantelli y Ley Fuerte) como consecuencias lógicas.

Mostraron que estas leyes no son meras coincidencias afortunadas de las matemáticas; son el resultado inevitable de cómo definimos el "promedio" sobre datos infinitos. Es una forma nueva, más limpia y más estructurada de entender por qué funciona la "Ley de los Grandes Números".

Resumen Técnico: Medidas Empíricas y Leyes Fuertes de los Grandes Números en Probabilidad Categórica

Enunciado del Problema
El artículo aborda el desafío de formular teoremas límite fundamentales de la teoría de la probabilidad —específicamente el teorema de Glivenko–Cantelli y la Ley Fuerte de los Grandes Números (SLLN)— dentro del marco de la probabilidad categórica. Si bien la probabilidad categórica ha abstraído con éxito conceptos como la independencia, la condicionamiento y el teorema de de Finetti utilizando categorías de Markov, estos marcos suelen asumir morfismos totales (morfismos definidos para todas las entradas).

La dificultad específica abordada aquí es la naturaleza de las medidas empíricas para secuencias infinitas. En la teoría de la medida estándar, la medida empírica de una secuencia infinita $(x_i)_{i \in \mathbb{N}}$ se define como el límite de las frecuencias relativas. Sin embargo, este límite no existe para toda secuencia (por ejemplo, secuencias oscilantes), e incluso cuando existe, puede fallar en definir una medida de probabilidad válida (por ejemplo, fallando la $\sigma$ -aditividad, como en la secuencia $1, 2, 3, \dots$ sobre $\mathbb{N}$ ). En consecuencia, la operación de "muestrear desde una medida empírica" es inherentemente una operación parcial. Las categorías de Markov estándar, que requieren que todos los morfismos sean totales, son insuficientes para modelar este fenómeno directamente. Los autores buscan desarrollar un marco sintético (axiomático) que acomode estas parcialidades mientras recupera los resultados estándar de la teoría de la medida.

Metodología
Los autores emplean un enfoque doble que combina la teoría de categorías abstracta con construcciones concretas de teoría de la medida:

Categorías Cuasi-Markov: Para manejar la parcialidad, los autores trabajan dentro de categorías cuasi-Markov. A diferencia de las categorías de Markov estándar donde cada morfismo es total, las categorías cuasi-Markov permiten morfismos que son "cuasi-totales". Un morfismo $f: A \to X$ es cuasi-total si está indefinido o produce una salida normalizada para cada entrada. Este marco soporta un orden parcial canónico (relación de extensión) donde $f \sqsupseteq g$ si $f$ extiende a $g$ .
$\sigma$ -Continuidad: Para gestionar productos tensoriales infinitos (productos de Kolmogorov) y secuencias infinitas, los autores introducen la suposición de $\sigma$ -continuidad. Esto asegura que los conjuntos hom posean intersecciones dirigidas numerables (intersecciones de dominios) y que estas intersecciones se preserven mediante la composición y los productos tensoriales. Se demuestra que esta propiedad corresponde a la $\sigma$ -continuidad de las medidas de probabilidad en la teoría de la medida.
Axiomatización del Muestreo Empírico: El núcleo de la metodología es la definición de un morfismo de muestreo empírico $es_X: X^\mathbb{N} \to X$ $e s_{X} : X^{N} \to X$ . Este morfismo toma una secuencia infinita como entrada y produce una muestra de su medida empírica. Los autores proponen dos axiomas para este morfismo:
- Invarianza bajo Permutación: El morfismo es invariante bajo permutaciones finitas de la secuencia de entrada.
- Adecuación Empírica: Si una distribución sobre $X^\mathbb{N}$ es intercambiable, entonces muestrear desde ella es equivalente al muestreo empírico iterado aplicado a una secuencia muestreada.
Construcciones Concretas: Los autores construyen morfismos de muestreo empírico explícitos para espacios de Borel estándar (conjuntos finitos, $\mathbb{N}$ y $\mathbb{R}$ ) dentro de la categoría de núcleos de Markov parciales, Partial(BorelStoch). Definen cuidadosamente los dominios de estos morfismos para asegurar que los límites resultantes satisfagan la $\sigma$ -aditividad y, para $\mathbb{R}$ , la convergencia uniforme de las funciones de distribución acumulativa (CDF).

Contribuciones Clave

Marco para la Parcialidad: El artículo desarrolla la teoría de las categorías cuasi-Markov, estableciendo específicamente la existencia y propiedades de los productos de Kolmogorov en este contexto. Esto incluye demostrar que Partial(BorelStoch) es una categoría cuasi-Markov $\sigma$ -continua.
Definición de Morfismos de Muestreo Empírico: Los autores proporcionan una definición categórica rigurosa de los morfismos de muestreo empírico mediante los axiomas de invarianza bajo permutación y adecuación empírica. Demuestran que estos morfismos existen para todos los espacios de Borel estándar.
Pruebas Sintéticas de Teoremas Límite: Utilizando la existencia de morfismos de muestreo empírico y la descomposición de idempotentes balanceados, los autores derivan versiones abstractas de:
- El Teorema de de Finetti: Mostrando que los morfismos intercambiables se factorizan a través de un objeto de distribución.
- El Teorema de Glivenko–Cantelli: Estableciendo la convergencia uniforme de las medidas empíricas hacia la distribución subyacente.
- La Ley Fuerte de los Grandes Números: Derivando la convergencia de los promedios empíricos hacia el valor esperado.
Unificación: El trabajo proporciona una prueba conjunta del teorema de de Finetti, el teorema de Glivenko–Cantelli y la SLLN desde primeros principios dentro de un único marco categórico, en lugar de tratarlos como resultados separados de la teoría de la medida.

Resultados

Representabilidad: La existencia de morfismos de muestreo empírico implica que la categoría es observacionalmente representable. Esto significa que para cada objeto $X$ , existe un objeto de distribución $PX$ (que representa medidas de probabilidad sobre $X$ ) y un morfismo de muestreo $samp: PX \to X$ .
Teorema Sintético de Glivenko–Cantelli: En cualquier categoría cuasi-Markov que satisfaga las suposiciones de los autores (incluida la existencia de morfismos de muestreo empírico), el morfismo de remuestreo $es^{(N)}$ se descompone a través del objeto de distribución. Esto conduce al resultado de que para cualquier morfismo intercambiable $f$ , la medida empírica es casi seguramente igual a la distribución subyacente.
Recuperación de Resultados Estándar: Al instanciar los teoremas abstractos en Partial(BorelStoch):
- El teorema sintético de Glivenko–Cantelli recupera el teorema estándar para variables aleatorias de valor real, afirmando que la CDF empírica converge uniformemente a la CDF verdadera casi seguramente.
- La SLLN sintética recupera la SLLN de Kolmogorov para variables aleatorias de valor real con momentos primeros finitos. Los autores señalan que es necesaria una restricción específica en el dominio del morfismo de muestreo empírico para $\mathbb{R}$ para asegurar la convergencia del promedio empírico (manejando el caso donde la media podría no existir).

Significado
El artículo afirma que este trabajo proporciona una prueba estructurada de tres resultados probabilísticos fundamentales desde primeros principios. Los autores argumentan que su prueba conjunta es más corta y posee una claridad conceptual mejorada en comparación con los tratamientos puramente de teoría de la medida tradicionales. Al identificar los morfismos de muestreo empírico como un concepto clave, el artículo sugiere que estos morfismos son una herramienta invaluable para traducir las leyes de los grandes números al lenguaje categórico. Los autores postulan que esta realización facilita el progreso adicional en la probabilidad categórica, ayudando potencialmente al desarrollo de otros teoremas límite, como los teoremas ergódicos, dentro del mismo marco. El trabajo enfatiza que, aunque traducir conceptos probabilísticos a la teoría de categorías a menudo no es trivial, la abstracción resultante revela las propiedades estructurales esenciales (invarianza bajo permutación y adecuación empírica) que sustentan estos teoremas clásicos.