Learning Flatness-Preserving Residuals for Pure-Feedback Systems

Planteamiento del Problema
La planitud diferencial es una propiedad poderosa que permite la transformación de sistemas no lineales en cadenas de integradores lineales, facilitando la planificación de trayectorias y el control por retroalimentación de manera eficiente. Sin embargo, la planitud se establece típicamente para modelos nominales idealizados. En la práctica, la dinámica no modelada (como la resistencia aerodinámica en cuadrúpedos o drones) degrada el rendimiento del control. Si bien el aprendizaje residual puede aproximar estas dinámicas desconocidas para mejorar la precisión del modelo, las parametrizaciones residuales genéricas suelen destruir la propiedad de planitud del sistema aumentado. Esta pérdida de planitud hace que los métodos estándar de planificación y control basados en la planitud sean inaplicables. Además, incluso si la planitud se preserva, a menudo no existe un método sistemático para construir el nuevo difeomorfismo de planitud (el mapeo entre las salidas planas y el estado/control) para el sistema aumentado.

Metodología
Los autores proponen un marco para aprender la dinámica residual que preserva estrictamente la planitud diferencial de sistemas cuyas modelos nominales admiten una forma de retroalimentación pura (pure-feedback form).

1. Restricción Estructural: El artículo restringe la atención a la dinámica nominal $\bar{f}$ que puede expresarse en una forma de retroalimentación pura multientrada multisalida (Suposición 1).
2. Residuales Triangulares Inferiores: La idea teórica central es que si la dinámica residual aprendida $\hat{\Delta}$ posee una estructura triangular inferior (Definición 2), el sistema aumentado $\bar{f} + \hat{\Delta}$ sigue siendo diferencialmente plano. Específicamente, el $i$-ésimo componente del residual depende solo de los primeros $i$ sub-estados, preservando la solvencia recursiva de la estructura de retroalimentación pura.
3. Difeomorfismo Constructivo: El artículo proporciona un procedimiento constructivo (Teorema 3) para recuperar el difeomorfismo de planitud del sistema aumentado utilizando el difeomorfismo conocido del modelo nominal y el residual aprendido. Esto permite que las salidas planas permanezcan sin cambios (por ejemplo, la posición para un cuadtróptero) mientras que el mapeo hacia los estados y las entradas se actualiza para dar cuenta del residual.
4. Algoritmo de Aprendizaje: Los autores parametrizan los componentes del residual triangular inferior utilizando aproximadores de funciones suaves (específicamente, redes neuronales de alimentación hacia adelante con activaciones GeLU). El modelo se entrena a partir de datos de trayectoria minimizando el error cuadrático entre el residual real (estimado mediante diferencias finitas) y el residual aprendido. Una vez entrenado, el difeomorfismo de planitud se construye fuera de línea (offline) utilizando diferenciación automática para calcular los Jacobianos necesarios.

Contribuciones Clave

• Caracterización Teórica: Los autores identifican una amplia clase de dinámicas residuales (triangulares inferiores) que preservan la planitud diferencial de los sistemas de retroalimentación pura (Teorema 2) y demuestran que las salidas planas del sistema nominal siguen siendo válidas para el sistema aumentado.
• Procedimiento Constructivo: Proporcionan un método sistemático para construir el difeomorfismo de planitud para el modelo aumentado directamente desde el difeomorfismo del modelo nominal y el residual aprendido (Teorema 3).
• Marco de Aprendizaje: Desarrollan una parametrización y un algoritmo de aprendizaje que impone la estructura triangular inferior, permitiendo el aprendizaje directo de modelos residuales que preservan la planitud a partir de datos de trayectoria.
• Validación Empírica: El enfoque se valida en un cuadtróptero 2D sujeto a efectos de arrastre no modelados (arrastre lineal y parásito).

Resultados
Se realizaron experimentos en un cuadtróptero 2D siguiendo trayectorias circulares y lemniscatas bajo arrastre no modelado:

• Rendimiento en Lazo Abierto: Aumentar el modelo nominal con el residual aprendido redujo el error medio de seguimiento de posición en lazo abierto casi en un orden de magnitud en comparación con el modelo plano nominal (por ejemplo, de ~0.31 m a ~0.026 m en trayectorias circulares).
• Rendimiento en Lazo Cerrado: Un controlador de seguimiento basado en la planitud utilizando el modelo aprendido logró un error de seguimiento aproximadamente 5 veces menor que el controlador que utiliza únicamente el modelo plano nominal.
• Eficiencia Computacional: En comparación con un modelo de control predictivo no lineal (NMPC) de base que utiliza el mismo residual aprendido, el controlador basado en la planitud logró un rendimiento de seguimiento similar pero fue aproximadamente 20 veces más rápido en tiempo de computación (3.3 ms frente a 85.2 ms por actualización de control).

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma ser el primer trabajo en abordar el aprendizaje de dinámicas residuales que preservan la planitud para sistemas diferencialmente planos. La significancia radica en cerrar la brecha entre la mejora del modelo basada en datos y los requisitos estructurales del control basado en la planitud. Al asegurar que el modelo aumentado siga siendo plano y proporcionar un método para construir las transformaciones de coordenadas necesarias, el enfoque permite retener los beneficios computacionales de los métodos basados en la planitud (velocidad y simplicidad) mientras se elimina la necesidad de un rediseño de controlador caso por caso o de alternativas computacionalmente costosas como el NMPC. Los autores posicionan esto como un paso fundacional hacia métodos más principios para aprender modelos residuales en sistemas diferencialmente planos, con planes de trabajo futuro para relajar las suposiciones estructurales y desplegar en hardware físico.