Learning Flatness-Preserving Residuals for Pure-Feedback Systems

Problematica
La piattezza differenziale è una proprietà potente che consente di trasformare sistemi non lineari in catene lineari di integratori, facilitando una pianificazione delle traiettorie e un controllo feedback efficienti. Tuttavia, la piattezza è tipicamente stabilita per modelli nominali idealizzati. Nella pratica, le dinamiche non modellate (come la resistenza aerodinamica nei quadrotor) degradano le prestazioni di controllo. Sebbene l'apprendimento dei residui possa approssimare queste dinamiche sconosciute per migliorare l'accuratezza del modello, le parametrizzazioni residue generiche spesso distruggono la proprietà di piattezza del sistema aumentato. Questa perdita di piattezza rende inapplicabili i metodi standard di pianificazione e controllo basati sulla piattezza. Inoltre, anche se la piattezza venisse preservata, non esiste spesso un metodo sistematico per costruire il nuovo difeomorfismo di piattezza (la mappatura tra output piatti e stato/controllo) per il sistema aumentato.

Metodologia
Gli autori propongono un framework per apprendere le dinamiche residue che preservano rigorosamente la piattezza differenziale di sistemi i cui modelli nominali ammettono una forma a feedback puro (pure-feedback form).

1. Restrizione Strutturale: Il documento restringe l'attenzione alle dinamiche nominali $\bar{f}$ che possono essere espresse in una forma a feedback puro multi-ingresso multi-uscita (Assunzione 1).
2. Residui Triangolari Inferiori: L'intuizione teorica centrale è che, se le dinamiche residue apprese $\hat{\Delta}$ possiedono una struttura triangolare inferiore (Definizione 2), il sistema aumentato $\bar{f} + \hat{\Delta}$ rimane differenzialmente piatto. Nello specifico, la $i$-esima componente del residuo dipende solo dai primi $i$ sottostati, preservando la risolvibilità ricorsiva della struttura a feedback puro.
3. Difeomorfismo Costruttivo: Il documento fornisce una procedura costruttiva (Teorema 3) per recuperare il difeomorfismo di piattezza del sistema aumentato utilizzando il difeomorfismo noto del modello nominale e il residuo appreso. Ciò consente agli output piatti di rimanere invariati (ad esempio, la posizione per un quadrotor) mentre la mappatura verso gli stati e gli input viene aggiornata per tenere conto del residuo.
4. Algoritmo di Apprendimento: Gli autori parametrizzano le componenti del residuo triangolare inferiore utilizzando approssimatori di funzioni smooth (specificamente, reti neurali feedforward con attivazioni GeLU). Il modello viene addestrato partendo da dati di traiettoria minimizzando l'errore quadratico tra il vero residuo (stimato tramite differenze finite) e il residuo appreso. Una volta addestrato, il difeomorfismo di piattezza viene costruito offline utilizzando la differenziazione automatica per calcolare i Jacobian necessari.

Contributi Chiave

• Caratterizzazione Teorica: Gli autori identificano una vasta classe di dinamiche residue (triangolari inferiori) che preservano la piattezza differenziale dei sistemi a feedback puro (Teorema 2) e dimostrano che gli output piatti del sistema nominale rimangono validi per il sistema aumentato.
• Procedura Costruttiva: Forniscono un metodo sistematico per costruire il difeomorfismo di piattezza per il modello aumentato direttamente dal difeomorfismo del modello nominale e dal residuo appreso (Teorema 3).
• Framework di Apprendimento: Sviluppano una parametrizzazione e un algoritmo di apprendimento che impongono la struttura triangolare inferiore, consentendo l'apprendimento diretto di modelli residui che preservano la piattezza partendo da dati di traiettoria.
• Validazione Empirica: L'approccio è validato su un quadrotor 2D soggetto a effetti aerodinamici non modellati (drag lineare e parassita).

Risultati
Gli esperimenti sono stati condotti su un quadrotor 2D per il tracking di traiettorie circolari e lemniscate sotto drag non modellato:

• Prestazioni Open-Loop: L'aumento del modello nominale con il residuo appreso ha ridotto l'errore medio di tracking della posizione in open-loop di quasi un ordine di grandezza rispetto al modello piatto nominale (ad esempio, da ~0,31 m a ~0,026 m sulle traiettorie circolari).
• Prestazioni Closed-Loop: Un controllore di tracking basato sulla piattezza che utilizza il modello appreso ha ottenuto un errore di tracking circa 5 volte inferiore rispetto al controllore che utilizza solo il modello piatto nominale.
• Efficienza Computazionale: Rispetto a un baseline di Controllo Predittivo Non Lineare (NMPC) che utilizza lo stesso residuo appreso, il controllore basato sulla piattezza ha ottenuto prestazioni di tracking simili ma è stato circa 20 volte più veloce nel tempo di calcolo (3,3 ms rispetto a 85,2 ms per ogni aggiornamento del controllo).

Significato e Rivendicazioni
Il documento sostiene di essere il primo lavoro ad affrontare l'apprendimento di dinamiche residue che preservano la piattezza per sistemi differenzialmente piatti. La significatività risiede nel colmare il divario tra il miglioramento del modello guidato dai dati e i requisiti strutturali del controllo basato sulla piattezza. Garantendo che il modello aumentato rimanga piatto e fornendo un metodo per costruire le necessarie trasformazioni di coordinate, l'approccio consente di mantenere i vantaggi computazionali dei metodi basati sulla piettezza (velocità e semplicità) eliminando al contempo la necessità di una riprogettazione del controllore caso per caso o di alternative computazionalmente più onerose come l'NMPC. Gli autori pongono questo lavoro come un passo fondamentale verso metodi più sistematici per l'apprendimento di modelli residui in sistemi differenzialmente piatti, con l'intenzione di estendere il lavoro per allentare le assunzioni strutturali e implementarlo su hardware fisico.