$p$-twisted Selmer near-companion curves

Resumen Técnico de "p-TWISTED SELMER NEAR-COMPANION CURVES"

Planteamiento del Problema y Contexto
El artículo aborda la relación entre las propiedades aritméticas de las curvas elípticas y sus grupos de Selmer bajo torsión (twisting). Basándose en el trabajo de Mazur y Rubin [7], quienes definieron las curvas casi-compañeras de Selmer n-es (n-Selmer near-companion curves), el artículo investiga la relación entre la acotación de las diferencias de rango de Selmer y el isomorfismo de los subgrupos de torsión. Mazur y Rubin conjeturaron que si dos curvas elípticas $E_1$ y $E_2$ sobre un cuerpo numérico $K$ son casi-compañeras de Selmer $n$ (es decir, la diferencia en las dimensiones de sus grupos de Selmer $n$ bajo torsiones cuadráticas es acotada), entonces sus subgrupos de torsión $n$, $E_1[n]$ y $E_2[n]$, deben ser isomorfos como módulos de $G_K$.

Aunque Yu [11] demostró esta conjetura para el caso $n=2$, el caso general para primos impares $p$ permanecía abierto. Una dificultad clave señalada en la introducción es que la igualdad de los cuerpos generados por los puntos de torsión, $K(E_1[p]) = K(E_2[p])$, no implica automáticamente un isomorfismo de módulos de $G_K$, $E_1[p] \cong E_2[p]$. Para cerrar esta brecha y extender el marco de trabajo, el autor introduce el concepto de curvas casi-compañeras de Selmer $p$-torsionadas ($p$-TSNC). A diferencia de la definición original que considera solo torsiones cuadráticas, las $p$-TSNC consideran torsiones por todos los caracteres $\chi \in \text{Hom}(G_K, \mu_p)$.

Metodología
La estrategia central consiste en analizar el comportamiento de los rangos de Selmer bajo $p$-torsiones. El autor define el grupo de Selmer $p$-torsionado $S_p(E/K, \chi)$ e investiga la diferencia en las dimensiones $r_p(E_1, \chi) - r_p(E_2, \chi)$.

La demostración se basa en un "argumento de densidad" utilizando el Teorema de Densidad de Chebotarev. La metodología procede de la siguiente manera:

1. Análisis de Extensión de Cuerpos: El autor asume que $K(E_1[p]) \neq K(E_2[p])$ y analiza las representaciones de Galois asociadas a $E_1$ y $E_2$. La demostración se divide en casos basados en la estructura de los cuerpos $M_i = K(E_i[p])$ y los puntos de $p$-torsión $E_i(K)[p]$.
2. Principios Local-Global: Utilizando herramientas de la teoría de clases global y las propiedades de las condiciones locales de Selmer (específicamente las imágenes de los mapas de Kummer $\gamma_v(\chi_v)$), el autor construye caracteres globales $\chi$ que satisfacen condiciones locales específicas en primos $q$ cuidadosamente elegidos.
3. Manipulación de Rangos: Mediante la selección de primos $q$ con propiedades de Frobenius específicas (por ejemplo, $q \in P_2(E)$ donde la Frobenius actúa trivialmente sobre $E[p]$), el autor construye caracteres que aumentan el rango de Selmer de una curva en 2 mientras dejan la otra sin cambios, o aumentándolos en cantidades diferentes.
4. Construcción Inductiva: A través de una serie de lemas (Secciones 3–8), el artículo demuestra que si $K(E_1[p]) \neq K(E_2[p])$, se pueden encontrar infinitos caracteres $\chi$ tales que la diferencia $|r_p(E_1, \chi) - r_p(E_2, \chi)|$ crezca arbitrariamente. Esto contradice la definición de $p$-TSNC, que requiere que esta diferencia esté acotada por una constante $C$.

Contribuciones Clave y Resultados
El artículo introduce la definición de curvas casi-compañeras de Selmer $p$-torsionadas y establece los siguientes teoremas principales:

• Teorema 1.6 (No existencia de $p$-TSNC con cuerpos distintos): Si $E_1$ y $E_2$ son $p$-TSNC sobre $K$, entonces $K(E_1[p]) = K(E_2[p])$, siempre que se cumpla al menos una de las siguientes condiciones:

  • $E_i[p] \subset E_i(K)$ para algún $i$.
  • $E_i(K)[p] \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ para $i=1,2$.
  • $E_1(K)[p] \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ y $K(\mu_p) \subsetneq M_2$.
  • El grado $[M_i : K(\mu_p)]$ no divide a $p$ para $i=1,2$.
  • $\mu_p \subset K$.
    Esencialmente, bajo estas condiciones, la propiedad de ser $p$-TSNC fuerza la igualdad de los cuerpos generados por los puntos de $p$-torsión.

• Teorema 1.7 (Suficiencia del Isomorfismo): Si existe un isomorfismo de módulos de $G_K$, $E_1[p] \cong E_2[p]$ (para $p \ge 3$), entonces $E_1$ y $E_2$ son $p$-TSNC sobre $K$. Esto confirma la dirección de la conjetura inversa en el contexto de la nueva definición.

• Corolarios: El artículo deriva que si $\mu_p \subset K$ y $E_i(K)[p] \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, entonces $p$-TSNC implica $E_1[p] \cong E_2[p]$ como módulos de $G_K$ (Corolario 1.9). Del mismo modo, si $E_1[p] \subset E_1(K)$, $p$-TSNC implica isomorfismo (Corolario 1.10).

Significancia
El artículo extiende el marco de Mazur y Rubin al generalizar el mecanismo de torsión de caracteres cuadráticos a todos los caracteres hacia $\mu_p$. La principal significancia radica en demostrar que, para una amplia gama de curvas elípticas (cubriendo casos donde la $p$-torsión es racional, parcialmente racional o donde la imagen de Galois es grande), la condición de ser curvas casi-compañeras de Selmer $p$-torsionadas es suficiente para forzar la igualdad de los cuerpos $K(E_1[p])$ y $K(E_2[p])$.

El autor señala que para curvas elípticas sin multiplicación compleja, el teorema de Faltings implica que $K(E_1[p]) \neq K(E_2[p])$ para infinitos primos si las curvas no son isógenas. En consecuencia, el artículo sugiere que si dos curvas no isógenas son $p$-TSNC para casi todos los primos excepto un número finito, estas deben ser isógenas. El trabajo proporciona una resolución parcial rigurosa a la conjetura de Mazur-Rubin en el contexto de los grupos de Selmer $p$-torsionados, estableciendo específicamente el vínculo entre las diferencias acotadas de rango de Selmer y la igualdad de los cuerpos de torsión bajo restricciones aritméticas específicas.