On higher Du Bois singularities and $K$-regularity

Resumen Técnico: Sobre las Singularidades de Du Bois de Orden Superior y la K-Regularidad

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el problema de caracterizar la $K$-regularidad para variedades algebraicas, específicamente la medida en que los grupos K-algébricos $K_m(X)$ fallan en ser $\mathbb{A}^1$-invariantes. Un esquema $X$ se define como $K_m$-regular si los mapas naturales $K_m(X) \to K_m(X \times \mathbb{A}^r)$ son isomorfismos para todo $r \geq 0$. Mientras que los esquemas regulares son $K_m$-regulares para todo $m$, el comportamiento de los esquemas singulares es más complejo. El problema central es establecer una relación precisa entre la naturaleza geométrica de las singularidades (específicamente las singularidades de Du Bois de orden superior) y la propiedad algebraica de la $K$-regularidad. Esto incluye la investigación de la conjetura de Vorst, que postula que para esquemas afines de dimensión $d$, la regularidad es equivalente a la $K_{d+1}$-regularidad, y la búsqueda de versiones fortalecidas de dicha conjetura para clases específicas de singularidades.

Metodología
El autor emplea una síntesis de métodos de la teoría de Hodge y K-teoría algebraica. El marco técnico principal involucra:

1. Complejos de Du Bois y diferenciales cdh: Utilizando los complejos de Du Bois $\underline{\Omega}^p_{X/F}$ (derivados de la teoría de Hodge mixta de Deligne) y su relación con los diferenciales cdh $\Omega^p_{cdh, X/F}$. El artículo se apoya en el isomorfismo entre estos objetos establecido por Cortiñas, Haesemeyer, Schlichting, Walker y Weibel (CHSW).
2. Singularidades de Du Bois de orden superior: Extendiendo la noción clásica de singularidades de Du Bois a sus análogos de "orden superior". Una intersección completa local (lci) $X$ tiene singularidades $m$-Du Bois si los mapas naturales $\Omega^p_{X/F} \to \underline{\Omega}^p_{X/F}$ son isomorfismos para $p \leq m$. Para variedades generales, el artículo utiliza la noción de singularidades "pre-$m$-Du Bois", definidas por la anulación de los haces de coherencia de la cohomología $H^i\underline{\Omega}^p_{X/F}$ para $i > 0$ y $p \leq m$.
3. Teoremas de Vanishing (Anulación): Las demostraciones dependen fuertemente de los teoremas de anulación para la cohomología de los complejos de Du Bois (por ejemplo, el vanishing de Steenbrink, los límites de codimensión de Mustat¸˘a-Popa) y resultados sobre la torsión y reflexividad de los diferenciales de Kähler para esquemas lci (Graf, Miller-Vassiliadou).
4. K-Regularidad vía grupos NK: El estudio de la $K$-regularidad se reduce al estudio de los grupos de Bass $NK$ mediante la secuencia espectral local-a-global. El artículo utiliza la descomposición de los grupos $NK$ en términos de la cohomología de los conos de los mapas $L^p_{X/\mathbb{Q}} \to \Omega^p_{X/\mathbb{Q}}$, donde $L$ es el complejo cotangente.

Contribuciones Clave y Resultados

• Relación entre Singularidades de Du Bois de Orden Superior y K-Regularidad (Teorema C):
  El artículo establece una relación bidireccional entre las singularidades de Du Bois de orden superior y la $K$-regularidad.

  • Si una variedad $X$ de dimensión $d$ tiene singularidades de Du Bois, es $K_{-d+1}$-regular.
  • Si $X$ es pre-$m$-Du Bois, es $K_{-t}$-regular para límites específicos de $t$ que dependen de la dimensión del lugar singular.
  • Inversamente, para variedades afines (ya sean lci o que satisfagan condiciones de profundidad en los diferenciales de Kähler), la $K$-regularidad implica singularidades pre-$m$-Du Bois.

• Caracterización Numérica vía Exponente Mínimo (Teorema A):
  Para un hipersuperficie compleja $X$ de dimensión $d$ con singularidades aisladas, el artículo proporciona un criterio numérico para la $K_m$-regularidad utilizando el exponente mínimo $\tilde{\alpha}_X$ de Saito:
  $$X \text{ es } K_m\text{-regular} \iff \tilde{\alpha}_X \geq \left\lceil \frac{m+d}{2} \right\rceil.$$
  Esto permite la detección explícita de la $K$-regularidad para singularidades específicas, tales como la hipersuperficie $x^2 + y^3 + z^7 = 0$.

• Conjetura de Vorst Fortalecida (Teorema B):
  El artículo demuestra que, para una intersección completa local afín, la $K_2$-regularidad implica regularidad. Esto fortalece la conjetura original de Vorst (que requería $K_{d+1}$-regularidad) y extensiones previas (que requerían $K_2$-regularidad solo para variedades normales o límites de codimensión específicos). La prueba utiliza el límite de codimensión en el lugar singular para singularidades $m$-Du Bois ($\text{codim } X_{\text{sing}} \geq 2m+1$) combinado con los criterios de regularidad derivados de la anulación de los grupos $NK$.

• Variedades Proyectivas y Regularidad Local vs. Global (Teorema D):
  El artículo caracteriza la $K_m$-regularidad para variedades proyectivas a través de la degeneración de la secuencia espectral de Hodge-a-de Rham. Específicamente, $X$ es $K_m$-regular si y solo si los mapas $H^i(X, L^p_{X/F}) \to H^i(X, \Omega^p_{X/F})$ son isomorfismos para $i-p \geq -m+1$.
  Este resultado se utiliza para construir ejemplos (Ejemplo 7.4) que muestran que la $K_m$-regularidad local no implica la $K_m$-regularidad global, resaltando una distinción que no está presente en el caso afín.

• La Pregunta de Bass e Invariantes de Du Bois (Sección 6):
  El artículo clasifica los invariantes de Du Bois ($b_{p,q} = \dim H^q \underline{\Omega}^p$) para superficies y utiliza estos para abordar la pregunta de Bass: si $K_m(X) \cong K_m(X \times \mathbb{A}^1)$ implica $K_m(X) \cong K_m(X \times \mathbb{A}^2)$.

  • Para superficies, la respuesta es positiva si y solo si $b_{0,1}$ y $b_{1,1}$ son ambos cero o ambos no nulos.
  • El artículo construye ejemplos de superficies con valores enteros no negativos arbitrarios para $b_{0,1}$ y $b_{1,1}$, proporcionando nuevos casos donde la pregunta de Bass tiene una respuesta positiva o negativa.
  • Para hipersuperficies homogéneas con singularidades aisladas, el artículo demuestra que la pregunta de Bass tiene una respuesta positiva para grupos K no positivos.

Significancia
El artículo afirma proporcionar una "forma fortalecida de la conjetura de Vorst" para intersecciones completas locales en característica cero, reduciendo el umbral de regularidad de $K_{d+1}$ a $K_2$. Al tender un puente entre la teoría de Hodge (vía complejos de Du Bois y exponentes mínimos) y la K-teoría algebraica, el trabajo ofrece nuevas herramientas para construir ejemplos de variedades $K$-regulares y para comprender la falla de la $\mathbb{A}^1$-invariancia. Los resultados refinan la comprensión de cómo la geometría de las singularidades (específicamente la codimensión del lugar singular y el comportamiento de las formas diferenciales) dicta las propiedades algebraicas K-teóricas de un esquema. El artículo concluye planteando más preguntas respecto a la $K_2$-regularidad para variedades no afines y la relación entre la mayor F-inyectividad y la $K$-regularidad en característica positiva.