One-loop amplitudes for $t\bar{t}j$ and $t\bar{t}\gamma$ productions at the LHC through $\mathcal{O}(\epsilon^2)$

Resumen Técnico: Amplitudes de un bucle para la producción de $t\bar{t}j$ y $t\bar{t}\gamma$ en el LHC hasta $O(\epsilon^2)$

Enunciado del Problema
Las predicciones teóricas para la producción de pares de quarks top en asociación con un jet ($t\bar{t}j$) o un fotón ($t\bar{t}\gamma$) en el Gran Colisionador de Hadrones (LHC) están actualmente disponibles hasta una precisión de Orden Siguiente al Principal (NLO). Sin embargo, para igualar la precisión sin precedentes de las mediciones experimentales en las campañas actuales y futuras del LHC, las predicciones deben proporcionarse al Orden Siguiente al Siguiente al Principal (NNLO) en Cromodinámica Cuántica (QCD). Lograr una precisión NNLO requiere el cálculo de amplitudes de dispersión de dos bucles para procesos $2 \to 3$. Un requisito previo crítico para construir estas funciones duras de dos bucles es la disponibilidad de amplitudes de un bucle expandidas hasta $O(\epsilon^2)$ en el parámetro de regularización dimensional $\epsilon$. Aunque existen paquetes automatizados para calcular la parte finita ($O(\epsilon^0)$) de las amplitudes de un bucle, estos no proporcionan los términos de orden superior en $\epsilon$ necesarios para la sustracción de singularidades ultravioletas (UV) e infrarrojas (IR) y la extracción del residuo finito en cálculos NNLO. Este artículo aborda esta lagina proporcionando expresiones analíticas para las amplitudes de helicidad de un bucle de color completo para los procesos $pp \to t\bar{t}j$ y $pp \to t\bar{t}\gamma$ hasta $O(\epsilon^2)$.

Metodología
Los autores emplean un marco computacional multietapa que combina aritmética de campos finitos, descomposición tensorial y el método de funciones pentágono:

1. Construcción de Amplitudes de Helicidad: El cálculo se realiza en el esquema 't Hooft-Veltman (tHV). Los autores descomponen las amplitudes parciales en estructuras tensoriales independientes de 4 dimensiones. Los espinores masivos para los quarks top se definen utilizando una dirección de referencia para expresar las amplitudes de helicidad en términos de momentos y productos de espinores sin masa. Las subamplitudes de helicidad se extraen evaluando las amplitudes parciales contraídas en elecciones específicas de vectores de referencia e invirtiendo el sistema lineal resultante.
2. Reconstrucción de Campos Finitos: Para gestionar la complejidad algebraica de las expresiones intermedias, los autores utilizan métodos de campos finitos. Los diagramas de Feynman se generan mediante QGRAF, seguido de una descomposición de color. Las amplitudes parciales contraídas resultantes se reducen a un conjunto mínimo de Integrales Maestras (MIs) utilizando identidades de Integración-Por-Partes (IBP) (generadas mediante NEATIBP y resueltas mediante FINITEFLOW). Los coeficientes racionales que multiplican a las MIs se reconstruyen analíticamente a partir de sus evaluaciones numéricas sobre campos finitos.
3. Base de Funciones Pentágono: Las MIs se expresan en términos de una base de componentes algebraicamente independientes conocidas como "funciones pentágono". Estas funciones corresponden a los componentes expandidos en $\epsilon$ de las MIs. Los autores derivan Ecuaciones Diferenciales (ED) canónicas para estas funciones en forma $d\log$. El alfabeto de las ED consta de 283 letras independientes, incluyendo 29 raíces cuadradas algebraicas.
4. Evaluación Numérica: Las ED se resuelven numéricamente utilizando el método de expansión de series de potencias generalizadas. Los autores utilizan dos paquetes de software: DIFFEXP (Mathematica) y el recién lanzado LINE (C/C++). Las condiciones de contorno se determinan evaluando las MIs en puntos específicos del espacio de fases utilizando el paquete AMFLOW con una precisión de 70 dígitos. La solución se propaga a puntos físicos arbitrarios del espacio de fases.
5. Renormalización y Residuo Finito: Las amplitudes desnudas se renormalizan en masa y completamente en UV añadiendo los contra-términos apropiados. El residuo finito se extrae restando las singularidades IR universales, utilizando el esquema $\overline{MS}$.

Contribuciones Clave

• Expresiones Analíticas: El artículo proporciona las primeras expresiones analíticas para las amplitudes de helicidad de un bucle de color completo para la producción de $t\bar{t}j$ y $t\bar{t}\gamma$ expandidas hasta $O(\epsilon^2)$.
• Base de Funciones Pentágono: Los autores construyen una base específica de funciones pentágono para estos procesos, expresando las amplitudes como combinaciones lineales de estas funciones con coeficientes racionales escritos en términos de variables de momento-twistor.
• Ecuaciones Diferenciales: Se derivan y resuelven numéricamente ED canónicas para las funciones pentágono. Los autores proporcionan las ED, los valores de contorno y las reglas de permutación para las funciones en archivos auxiliares.
• Implementación de Software: El trabajo demuestra la aplicación del paquete LINE para resolver ED que involucran raíces cuadradas, mostrando que es aproximadamente dos veces más rápido que DIFFEXP para este sistema específico de ecuaciones.
• Resultados de Referencia: Se proporcionan resultados numéricos de referencia para elementos de matriz al cuadrado sumados en color y helicidad para todos los canales partónicos relevantes ($gg \to t\bar{t}g$, $q\bar{q} \to t\bar{t}g$, $gg \to t\bar{t}\gamma$, $q\bar{q} \to t\bar{t}\gamma$) y se validan contra OPENLOOPS hasta $O(\epsilon^0)$.

Resultados
Los autores calcularon con éxito las amplitudes de helicidad para procesos que involucran pares de quarks top y partículas sin masa (gluones, fotones, quarks ligeros). Las expresiones analíticas para los coeficientes racionales de las funciones pentágono se reconstruyeron, reduciendo significativamente los grados del numerador mediante descomposición en fracciones parciales univariadas. La evaluación numérica de las amplitudes en un punto específico del espacio de fases físico confirmó la validez de los resultados frente a herramientas NLO existentes. El artículo señala que, aunque los coeficientes racionales para $t\bar{t}j$ y $t\bar{t}\gamma$ comparten algunas similitudes estructurales, no se realizó una extracción completa de las relaciones entre los dos procesos a nivel de amplitudes primitivas.

Significado y Afirmaciones
Los autores afirman que sus resultados son esenciales para construir las funciones duras de dos bucles requeridas para los cálculos QCD NNLO de la producción de $t\bar{t}j$ y $t\bar{t}\gamma$. Al proporcionar amplitudes hasta $O(\epsilon^2)$, permiten la sustracción analítica de divergencias UV e IR y la extracción de residuos finitos, lo cual es inaccesible de otro modo con herramientas limitadas a $O(\epsilon^0)$.

El artículo afirma que expresar las amplitudes en términos de una base de funciones pentágono ofrece un marco compacto que simplifica las expresiones finales y mejora la eficiencia numérica. Además, los autores posicionan este trabajo como un trampolín para futuros cálculos de dos bucles. Señalan que, aunque las amplitudes de dos bucles de color principal para $t\bar{t}j$ involucran estructuras elípticas, la base de funciones pentágono construida aquí (que separa contribuciones polilogarítmicas y no polilogarítmicas) puede proporcionar una estrategia útil para manejar los espacios funcionales más complejos esperados en cálculos de dos bucles, incluidos los de $t\bar{t}\gamma$. Los autores concluyen modestamente que, aunque la base facilita el trabajo futuro, la realización completa de los cálculos de dos bucles sigue siendo un tema para investigación futura.