📈 economics

$p$ -orderings: From Slater to Kemeny-Young to Ranked Pairs

Este artículo introduce una familia unificada de reglas de clasificación llamadas $p$ -ordenamientos, los cuales minimizan la norma $p$ de los desacuerdos de mayoría por pares y comprenden los ordenamientos de Slater, Kemeny-Young y Ranked Pairs como casos o límites específicos, al tiempo que demuestran que estas reglas están caracterizadas de manera única por los axiomas naturales de invarianza de escala y monotonicidad.

Autores originales: Amir Babak Aazami, Hubert Lewis Bray

Publicado 2026-06-30

📖 5 min de lectura🧠 Análisis profundo

CC BY 4.0

Autores originales: Amir Babak Aazami, Hubert Lewis Bray

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Imagina que estás intentando resolver un debate entre un grupo de amigos sobre la mejor película del año. Todo el mundo ha votado, pero los resultados son caóticos. Algunos prefieren la Película A sobre la B, otros prefieren la B sobre la C, pero sorprendentemente, un tercer grupo piensa que la C es mejor que la A. Esto crea un bucle (A > B > C > A), lo que hace imposible declarar un único ganador perfecto simplemente mirando quién venció a quién.

Este artículo presenta una nueva y flexible familia de reglas llamadas p-ordenamientos para resolver este problema caótico. Piensa en esta familia como un "dial" o un "deslizador" que puedes girar para cambiar cuánto te importa el tamaño del desacuerdo entre los votantes.

Así es como funciona el dial, moviéndose de un extremo al otro:

1. El extremo de "Contar" (Ordenamientos de Slater)

El dial está ajustado casi a cero ( $p \to 0$ ).
Imagina que eres un contable estricto a quien solo le importa cuántas veces la gente discrepa con tu clasificación, no qué tan fuerte se sienten al respecto.

La analogía: Tienes una pila de tarjetas rojas. Cada vez que tu clasificación contradice el voto de la mayoría (por ejemplo, tú dices que A es mejor que B, pero la multitud dice que B es mejor), recibes una tarjeta roja.
El objetivo: Buscas la clasificación con el menor número de tarjetas rojas.
El resultado: Esto es el ordenamiento de Slater. Trata una diferencia de apenas 1 voto de la misma manera que una diferencia masiva de 1,000 votos. Simplemente cuenta los errores.

2. El extremo "Medio" (Regla de Kemeny-Young)

El dial está ajustado en 1 ( $p = 1$ ).
Ahora, empiezas a preocuparte por el tamaño del desacuerdo. Un margen de 10 votos se siente diez veces peor que un margen de 1 voto.

La analogía: En lugar de solo contar tarjetas rojas, ahora estás midiendo la "distancia" del desacuerdo. Si la multitud discrepa contigo por mucho, eso afecta más tu puntuación.
El objetivo: Quieres minimizar la suma total de estos tamaños de desacuerdo.
El resultado: Esta es la famosa regla de Kemeny-Young. Es como intentar encontrar el camino que requiera el menor "esfuerzo" total para explicar las preferencias de los votantes.

3. El extremo del "Mayor Problema" (Pares Clasificados)

El dial se gira al máximo (p grande).
Ahora, te obsesionas con los desacuerdos más grandes. Ya no te importan las cosas pequeñas; solo te importa la contradicción más masiva y evidente.

La analogía: Imagina que eres un juez revisando una lista de crímenes. No te importan las 50 multas menores de estacionamiento; solo te importa el único asesinato. Si puedes solucionar el asesinato, no te importa si accidentalmente creas 10 multas de estacionamiento nuevas. Priorizas la violación "más pesada" por encima de todo.
El objetivo: Miras el mayor margen de victoria (por ejemplo, "A vence a B por 50 votos"). Dejas eso establecido. Luego miras el siguiente más grande. Si encaja con el primero, lo estableces. Si crea un bucle (una contradicción), lo descartas porque es el "eslabón más débil" en esa cadena específica de lógica.
El resultado: Esto es el método de Pares Clasificados (Ranked Pairs). El artículo demuestra que si giras el dial lo suficiente, tu "p-ordenamiento" se convierte exactamente en Pares Clasificados.

La "Magia" del Dial

Los autores descubrieron algo fascinante: este dial no es aleatorio.

Se preguntaron: "¿Existe una razón matemática para usar esta fórmula específica ( $|x|^p$ )?"
Demostraron que si quieres una regla que:

Funcione de la misma manera tanto si todos votan una vez como si votan diez veces (Invarianza de escala).
Solo se preocupe por qué tan grande es el margen, no por la dirección (Dependencia de la magnitud).
Trate los márgenes más grandes como más importantes (Monotonía).

...entonces la única fórmula que puedes usar es este dial de $|x|^p$ . Es la forma "canónica" (estándar) de medir estos desacuerdos.

El Efecto de "Congelación"

El artículo también explica qué sucede a medida que sigues girando el dial cada vez más alto.

Al principio, a medida que aumentas $p$ , la clasificación puede saltar un poco mientras diferentes combinaciones de votos se vuelven más o menos importantes.
Sin embargo, una vez que pasas un cierto "punto de inflexión" (un número $p$ específico), la clasificación se congela.
No importa cuánto más gires el dial después de ese punto, el resultado nunca vuelve a cambiar. Se ha fijado en la solución de Pares Clasificados.

Resumen

Piensa en el p-ordenamiento como una máquina única y universal para clasificar candidatos.

Gira la perilla hacia 0, y contará errores (Slater).
Gira la perilla hacia 1, y sumará el dolor de los errores (Kemeny-Young).
Gira la perilla hacia el infinito, y priorizará los errores más grandes por encima de todo lo demás (Pares Clasificados).

El artículo muestra que estos tres métodos famosos y aparentemente diferentes son, en realidad, solo diferentes configuraciones de la misma máquina, y que esta máquina es matemáticamente la única que cumple con las reglas básicas de imparcialidad respecto a los márgenes de votación.

Resumen Técnico: p-ORDENAMIENTOS: DESDE SLATER HACIA KEMENY-YOUNG Y RANKED PAIRS

Planteamiento del Problema
En las elecciones preferenciales, las boletas inducen márgenes de mayoría por pares entre los candidatos. Aunque muchas reglas de bienestar social dependen de esta información de pares ponderada en lugar del perfil completo, ha faltado un marco unificado que conecte distintas reglas de ordenamiento. Específicamente, el artículo aborda la relación entre tres prominentes reglas basadas en márgenes: los ordenamientos de Slater (que minimizan el número de desacuerdos por pares), la regla de Kemeny-Young (que minimiza la suma de las magnitudes de desacuerdo) y Ranked Pairs (que prioriza los márgenes más grandes de forma lexicográfica). El problema central es determinar si estas reglas pueden verse como miembros de una única familia canónica de reglas de ordenamiento derivadas de un principio de optimización específico sobre la matriz de margen de victoria (m.o.v., por sus siglas en inglés).

Metodología
Los autores introducen una familia de reglas de ordenamiento denominada p-ordenamientos, definidos mediante la minimización de la norma $p$ de los márgenes de mayoría por pares que discrepan con un dado ordenamiento.

Definición de la norma $p$ en matrices m.o.v.: Para un dado ordenamiento de candidatos, los autores aíslan las entradas en la parte triangular superior de la matriz m.o.v. que son negativas (lo que indica un desacuerdo con el ordenamiento). Definen la $p$ -norma de un ordenamiento $\pi$ como:
$\|\pi\|_p = \left( \sum_{i<j, m_{ij}<0} |m_{ij}|^p \right)^{1/p}$
El p-ordenamiento es la permutación de candidatos que minimiza esta cantidad.
Justificación Canónica (Teorema 1): El artículo argumenta que la elección de la función $f(x) = |x|^p$ no es arbitraria. Bajo tres supuestos naturales —invarianza de escala, dependencia únicamente de la magnitud del margen y monotonicidad con respecto al tamaño del margen—, los autores demuestran que la única función de puntuación continua compatible con esta construcción es de la forma $c|x|^p$ . Esto establece a la familia $p$ como canónica entre las construcciones basadas en márgenes.
Optimización vía Q-sum: Para facilitar el análisis, los autores definen una "Q-sum" (Corolario 2), que suma magnitudes con signo $\sum \mu_{ij} |m_{ij}|^p$ . Maximizar esta suma es equivalente a minimizar la $p$ -norma de las entradas negativas.

Resultos Clave
El artículo establece el comportamiento de los p-ordenamientos a lo largo del espectro de $p > 0$ :

Límite cuando $p \to 0^+$ (Proposición 1): Minimizar la $p$ -norma se vuelve equivalente a minimizar el conteo de desacuerdos por pares. Así, el p-ordenamiento converge al ordenamiento de Slater.
Caso $p = 1$ (Proposición 2): El ordenamiento de la 1-norma es matemáticamente equivalente a la regla de Kemeny-Young, que minimiza la suma de los márgenes de desacuerdo absolutos.
Límite cuando $p \to \infty$ (Teorema 2): Para cualquier elección con márgenes por pares distintos y no nulos, existe un umbral $p^*$ $p^{*}$ tal que para todo $p \geq p^*$ $p \geq p^{*}$ , el p-ordenamiento coincide exactamente con el ordenamiento de Ranked Pairs.
- Mecanismo: La prueba se basa en una "Propiedad de Dominancia Acumulativa" (Lema 3). A medida que $p$ aumenta, el término correspondiente al mayor margen de victoria domina la suma de todos los términos menores. En consecuencia, el procedimiento de optimización se vuelve lexicográfico: prioriza satisfacer los márgenes más grandes primero, luego los siguientes más grandes, imitando exactamente el algoritmo de Ranked Pairs.
Estabilización: El conjunto de p-ordenamientos es constante sobre un número finito de intervalos en el eje $p$ positivo (Proposición 9). Para un $p$ suficientemente grande, la solución se estabiliza hacia el ordenamiento único de Ranked Pairs (asumiendo márgenes distintos).

Propiedades de los p-ordenamientos
El artículo analiza diversas propiedades axiomáticas de la familia de p-ordenamientos:

Consistencia de Smith: Para todo $p > 0$ , los p-ordenamientos clasifican a los candidatos en el conjunto de Smith por encima de aquellos que están fuera de este (Proposición 5).
Compatibilidad de Condorcet: Si existe un ganador de Condorcet, este es clasificado primero; si existe un perdedor de Condorcet, este es clasificado último.
Monotonicidad: Si el p-ordenamiento es único, este satisface la propiedad de monotonicidad (Proposición 7).
Independencia del Último Lugar Perdedor: Eliminar al candidato clasificado último en la elección de boletas invertidas no altera al ganador de la elección original (Proposición 6).
Invarianza de Clones: La familia no es generalmente invariante ante clones, ya que la regla de Kemeny-Young ( $p=1$ ) falla este criterio (Proposición 3).

Significancia
El artículo afirma unificar tres reglas de votación distintas —Slater, Kemeny-Young y Ranked Pairs— en una única familia de reglas de un solo parámetro basada en márgenes de mayoría por pares. Al demostrar que Ranked Pairs surge como el miembro eventual de gran $p$ de esta familia canónica, el trabajo proporciona un puente teórico entre los enfoques de conteo, de suma y lexicográficos. Los autores enfatizan que Ranked Pairs no es un heurístico aislado, sino el límite natural de un proceso de optimización continuo impulsado por las magnitudes de los márgenes. Los resultados se prueban bajo el supuesto de márgenes distintos y no nulos para evitar complicaciones de desempate, siendo la convergencia hacia Ranked Pairs válida para todo $p$ suficientemente grande.