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$p$ -orderings: From Slater to Kemeny-Young to Ranked Pairs

Este artigo introduz uma família unificada de regras de ordenação chamadas $p$ -ordenações, que minimizam a norma $p$ dos desacordos de maioria pareados e abrangem as ordenações de Slater, Kemeny-Young e Ranked Pairs como limites ou casos específicos, ao mesmo tempo em que demonstram que essas regras são caracterizadas unicamente por axiomas naturais de invariância de escala e monotonicidade.

Autores originais: Amir Babak Aazami, Hubert Lewis Bray

Publicado 2026-06-30

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CC BY 4.0

Autores originais: Amir Babak Aazami, Hubert Lewis Bray

Artigo original sob licença CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta é uma explicação gerada por IA do artigo abaixo. Não foi escrita nem endossada pelos autores. Para precisão técnica, consulte o artigo original. Ler aviso legal completo

Imagine que você está tentando resolver um debate entre um grupo de amigos sobre o melhor filme do ano. Todos votaram, mas os resultados estão confusos. Alguns preferem o Filme A ao B, outros preferem o B ao C, mas, surpreendentemente, um terceiro grupo acha que o C é melhor que o A. Isso cria um ciclo (A > B > C > A), tornando impossível declarar um único vencedor perfeito apenas olhando para quem venceu quem.

Este artigo apresenta uma nova e flexível família de regras chamadas p-ordenações para resolver esse problema confuso. Pense nesta família como um "dial" ou um "controle deslizante" que você pode girar para mudar o quanto você se importa com o tamanho do desacordo dos eleitores.

Veja como o dial funciona, movendo-se de uma extremidade para a outra:

1. A Extremidade da "Contagem" (Ordenações de Slater)

O Dial está ajustado para quase zero ( $p \to 0$ ).
Imagine que você é um contador rigoroso que só se importa com quantas vezes as pessoas discordam da sua classificação, não com o quão fortes elas sentem isso.

A Analogia: Você tem uma pilha de cartões vermelhos. Cada vez que sua classificação contradiz o voto da maioria (por exemplo, você diz que A é melhor que B, mas a multidão diz que B é melhor), você recebe um cartão vermelho.
O Objetivo: Você quer a classificação com o menor número de cartões vermelhos.
O Resultado: Isso é chamado de ordenação de Slater. Ele trata uma diferença de apenas 1 voto da mesma forma que uma diferença massiva de 1.000 votos. Ele apenas conta os erros.

2. A Extremidade "Média" (Regra de Kemeny-Young)

O Dial está ajustado em 1 ( $p = 1$ ).
Agora, você começa a se importar com o tamanho do desacordo. Uma diferença de 10 votos parece dez vezes pior do que uma diferença de 1 voto.

A Analogia: Em vez de apenas contar cartões vermelhos, você agora está medindo a "distância" do desacordo. Se a multidão discorda de você por muito, isso prejudica sua pontuação mais intensamente.
O Objetivo: Você quer minimizar a soma total desses tamanhos de desacordo.
O Resultado: Esta é a famosa regra de Kemeny-Young. É como tentar encontrar o caminho que exige o menor "esforço" total para explicar as preferências dos eleitores.

3. A Extremidade do "Maior Problema" (Pares Classificados)

O Dial é girado ao máximo (Grande $p$ ).
Agora, você se torna obcecado pelos maiores desacordos. Você não se importa mais com as coisas pequenas; você só se importa com a contradição massiva e gritante.

A Analogia: Imagine que você é um juiz analisando uma lista de crimes. Você não se importa com as 50 multas de estacionamento menores; você só se importa com um homicídio. Se você puder resolver o homicídio, não se importa se acidentalmente criar 10 novas multas de estacionamento. Você prioriza a violação mais "pesada" acima de tudo.
O Objetivo: Você olha para a maior margem de vitória (ex: "A vence B por 50 votos"). Você trava essa decisão. Depois, você olha para a próxima maior. Se ela se encaixar na primeira, você a trava. Se ela criar um ciclo (uma contradição), você a descarta porque ela é o "elo mais fraco" naquela cadeia específica de lógica.
O Resultado: Este é o método dos Pares Classificados (Ranked Pairs). O artigo prova que, se você girar o dial o suficiente, sua "p-ordenação" torna-se exatamente os Pares Classificados.

A "Magia" do Dial

Os autores descobriram algo fascinoso: este dial não é aleatório.

Eles perguntaram: "Existe uma razão matemática para usarmos esta fórmula específica ( $|x|^p$ )?"
Eles provaram que, se você quiser uma regra que:

Funcione da mesma forma quer todos votarem uma vez ou dez vezes (Invariância de Escala).
Só se importe com o tamanho da margem, não com a direção (Dependência de Magnitude).
Trate margens maiores como mais importantes (Monotonicidade).

...então a única fórmula que você pode usar é este dial $|x|^p$ . É a forma "canônica" (padrão) de medir esses desacordos.

O Efeito de "Congelamento"

O artigo também explica o que acontece conforme você continua girando o dial cada vez mais alto.

No início, conforme você aumenta $p$ , a classificação pode oscilar um pouco à medida que diferentes combinações de votos tornam-se mais ou menos importantes.
No entanto, uma vez que você passa de um "ponto de virada" (um número $p$ específico $p^*$ ), a classificação congela.
Não importa o quanto mais você gire o dial após esse ponto, o resultado nunca mais muda. Ele travou na solução dos Pares Classificados.

Resumo

Pense na p-ordenação como uma máquina única e universal para classificar candidatos.

Gire o botão para 0, e ela conta erros (Slater).
Gire o botão para 1, e ela soma a dor dos erros (Kemeny-Young).
Gire o botão para o infinito, e ela prioriza os maiores erros acima de tudo (Pares Classificados).

O artigo mostra que esses três métodos famosos e aparentemente diferentes são, na verdade, apenas configurações diferentes no mesmo controle, e que esta máquina é matematicamente a única que se ajusta às regras básicas de justiça em relação às margens de voto.

Resumo Técnico: p-ORDENAÇÕES: DE SLATER A KEMENY-YOUNG E RANKED PAIRS

Enunciado do Problema
Em eleições preferenciais, as cédulas induzem margens de maioria pareadas entre candidatos. Embora muitas regras de bem-estar social dependam dessa informação de margem pareada ponderada em vez do perfil completo, faltava uma estrutura unificada que conectasse distintas regras de ordenação. Especificamente, o artigo aborda a relação entre três proeminentes regras baseadas em margens: as ordenações de Slater (que minimizam o número de desentendimentos pareados), a regra de Kemeny-Young (que minimiza a soma das magnitudes de desentendimento) e Ranked Pairs (que prioriza margens maiores de forma lexicográfica). O problema central é determinar se estas regras podem ser vistas como membros de uma única família canônica de regras de ordenação derivadas de um princípio de otimização específico sobre a matriz de margem de vitória (m.o.v.).

Metodologia
Os autores introduzem uma família de regras de ordenação denominada p-ordenações, definida pela minimização da $p$ -norma das margens de maioria pareadas que discordam de uma determinada ordenação.

Definição da p-norma em matrizes m.o.v.: Para uma dada ordenação de candidatos, os autores isolam as entradas na parte triangular superior da matriz m.o.v. que são negativas (indicando um desentendimento com a ordenação). Eles definem a $p$ -norma de uma ordenação $\pi$ como:
$\|\pi\|_p = \left( \sum_{i<j, m_{ij}<0} |m_{ij}|^p \right)^{1/p}$
A p-ordenação é a permutação dos candidatos que minimiza esta quantidade.
Justificativa Canônica (Teorema 1): O artigo argumenta que a escolha da função $f(x) = |x|^p$ não é arbitrária. Sob três pressupostos naturais — invariância de escala, dependência apenas da magnitude da margem e monotonicidade em relação ao tamanho da margem — os autores provam que a única função de pontuação contínua compatível com esta construção é da forma $c|x|^p$ . Isso estabelece a família p como canônica entre construções baseadas em margens.
Otimização via Q-sum: Para facilitar a análise, os autores definem uma "Q-sum" (Corolário 2), que soma magnitudes assinadas $\sum \mu_{ij} |m_{ij}|^p$ . Maximizar esta soma é equivalente a minimizar a $p$ -norma das entradas negativas.

Resultos Principais
O artigo estabelece o comportamento das p-ordenações através do espectro de $p > 0$ :

Limite quando $p \to 0^+$ (Proposição 1): Minimizar a $p$ -norma torna-se equivalente a minimizar a contagem de desentendimentos pareados. Assim, a p-ordenação converge para a ordenação de Slater.
Caso $p = 1$ (Proposição 2): A ordenação da 1-norma é matematicamente equivalente à regra de Kemeny-Young, que minimiza a soma das margens absolutas de desentendimento.
Limite quando $p \to \infty$ (Teorema 2): Para qualquer eleição com margens pareadas distintas e não nulas, existe um limiar $p^*$ $p^{*}$ tal que para todo $p \geq p^*$ $p \geq p^{*}$ , a p-ordenação coincide exatamente com a ordenação de Ranked Pairs.
- Mecanismo: A prova baseia-se na "Propriedade de Dominância Cumulativa" (Lema 3). À medida que $p$ aumenta, o termo correspondente à maior margem de vitória domina a soma de todos os termos menores. Consequentemente, o procedimento de otimização torna-se lexicográfico: ele prioriza satisfazer as maiores margens primeiro, depois as próximas maiores, espelhando exatamente o algoritmo de Ranked Pairs.
Estabilização: O conjunto de p-ordenações é constante sobre intervalos finitos no eixo $p$ positivo (Proposição 9). Para um $p$ suficientemente grande, a solução estabiliza-se para a ordenação única de Ranked Pairs (assumindo margens distintas).

Propriedades das p-ordenações
O artigo analisa diversas propriedades axiomáticas da família de p-ordenações:

Consistência de Smith: Para todos os $p > 0$ , as p-ordenações classificam os candidatos no conjunto de Smith acima daqueles fora dele (Proposição 5).
Compatibilidade de Condorcet: Se um vencedor de Condorcet existe, este é classificado em primeiro lugar; se um perdedor de Condorcet existe, este é classificado por último.
Monotonicidade: Se a p-ordenação for única, ela satisfaz a propriedade de monotonicidade (Proposição 7).
Independência do Último Lugar do Perdedor: Remover o candidato classificado em último lugar na eleição de cédula reversa não altera o vencedor da eleição original (Proposição 6).
Invariância de Clone: A família não é geralmente invariante a clones, visto que a regra de Kemeny-Young ( $p=1$ ) falha neste critério (Proposição 3).

Significância
O artigo afirma unificar três regras de votação distintas — Slater, Kemeny-Young e Ranked Pairs — em uma única família de regras parametrizada por um único parâmetro baseada em margens de maioria pareadas. Ao demonstrar que Ranked Pairs surge como o membro de grande $p$ desta família canônica, o trabalho fornece uma ponte teórica entre abordagens de contagem, de soma e lexicográficas. Os autores enfatizam que Ranked Pairs não é um heurístico isolado, mas o limite natural de um processo de otimização contínuo impulsionado pelas magnitudes das margens. Os resultados são provados sob a premissa de margens distintas e não nulas para evitar complicações de desempate, com a convergência para Ranked Pairs ocorrendo para todo $p$ suficientemente grande.