Orthomorphism Polynomials of degree $7$ over finite fields

Resumen Técnico: Polinomios de Ortomorfismo de Grado 7 sobre Campos Finitos

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la clasificación de los polinomios de ortomorfismo (OP, por sus siglas en inglés) de grado 7 sobre campos finitos $\mathbb{F}_q$. Se define un polinomio $f \in \mathbb{F}_q[x]$ como un polinomio de ortomorfismo si tanto $f(x)$ como $f(x) - x$ son polinomios de permutación (PP) sobre $\mathbb{F}_q$. Mientras que trabajos previos de Neiderreiter, Robinson, Shallue y Wanless habían clasificado los polinomios de permutación completa (CPP) y los OP de grados menores a 7 y casos específicos de grado 6, la forma explícita y la enumeración completa de los OP de grado 7 seguían siendo un problema abierto para diversos órdenes de campo. Los autores pretenden determinar la lista completa de los OP de grado 7 no excepcionales y proporcionar una caracterización parcial de los excepcionales.

Metodología
Los autores emplean una combinación de resultados de clasificación teórica y enumeración computacional:

1. Reducción mediante Transformaciones Lineales: El estudio se basa en el trabajo de Xiang Fan [2], que establece que cualquier PP de grado 7 sobre $\mathbb{F}_q$ está linealmente relacionado con una forma normalizada $x^7 + \sum_{i=1}^5 f_i x^i$. Dos polinomios están "linealmente relacionados" si uno puede transformarse en el otro mediante $g(x) = af(bx+c)+d$.
2. Distinción entre PPs y OPs: Un desafío metodológico crítico observado es que, si bien las transformaciones lineales preservan la propiedad de ser un PP, no necesariamente preservan la propiedad de ser un OP. Por lo tanto, los autores no pueden simplemente verificar si un PP normalizado es un OP; deben determinar los factores de escala específicos $\alpha$ y $\beta$ tales que $\alpha f(\beta x)$ (y sus desplazamientos) satisfaga la condición de OP.
3. Enumeración Sistemática:
   • Los autores utilizan el Lema 2 [2] para identificar todos los PPs no excepcionales de grado 7 para órdenes de campo específicos ($q \in \{11, 13, 17, 19, 23, 25, 31\}$).
   • Para cada familia de polinomios candidata, construyen sistemas de ecuaciones derivados de la condición de que $h(x) = \alpha f(\beta x) - x$ también debe ser un PP (y, por lo tanto, estar linealmente relacionado con una de las formas normalizadas conocidas).
   • Estos sistemas se resuelven utilizando el sistema de álgebra computacional SageMath para encontrar pares válidos $(\alpha, \beta) \in (\mathbb{F}_q^*)^2$.
   • Se utiliza el Lema 3 [5] para generar el conjunto completo de OPs a partir de polinomios base válidos mediante traslaciones $f(x+\gamma) + \delta$.
   • El Lema 4 asegura que pares distintos de $(\alpha, \beta)$ produzcan polinomios distintos, lo que permite un conteo exacto.

Contribuciones Clave y Resultados

• Existencia y Clasificación para OPs No Excepcionales:
  El artículo demuestra que un polinomio de ortomorfismo no excepcional de grado 7 existe sobre $\mathbb{F}_q$ (para $q > 7$) si y solo si $q \in \{11, 13, 17, 19, 25\}$.

  • Listas Explícitas: Los autores proporcionan las formas explícitas de estos polinomios para cada $q$ válido, parametrizados por los pares $(\alpha, \beta)$.
  • Conteos Exactos:
    • $\mathbb{F}_{11}$: 7,260 OPs (20 excepcionales).
    • $\mathbb{F}_{13}$: 6,422 OPs (4 excepcionales).
    • $\mathbb{F}_{17}$: 4,624 OPs (todos no excepcionales).
    • $\mathbb{F}_{19}$: 4,332 OPs (4 excepcionales).
    • $\mathbb{F}_{25}$: 60,000 OPs (20 excepcionales).
  • Estos conteos para $q=11, 13, 17$ se alinean perfectamente con los datos proporcionados por Shallue y Wanless [7].

• Resultados de No Existencia:
  El estudio establece la no existencia de OPs de grado 7 sobre $\mathbb{F}_{23}$ y $\mathbb{F}_{31}$. Además, confirma que no existen OPs para campos donde $q \equiv 6 \pmod 7$ (excepto $q=13$), extendiendo los resultados previos sobre campos de característica 2.

• Polinomios Excepcionales:
  El artículo caracteriza los OPs excepcionales (aquellos que son PPs sobre infinitas extensiones).

  • Para $\mathbb{F}_{49}$ (y generalmente $\mathbb{F}_{7^t}, t \ge 2$), todos los OPs de grado 7 son excepcionales.
  • Los autores proporcionan una caracterización explícita para $\mathbb{F}_{49}$, señalando un total de 3,937,640 tales polinomios.
  • Se demuestra que para $\mathbb{F}_{27}$, no existen OPs de grado 7.

Significancia
El artículo afirma completar la clasificación de los polinomios de ortomorfismo no excepcionales de grado 7 para todos los campos finitos donde tales polinomios existen. Al verificar los conteos contra los datos existentes para campos más pequeños y extender el análisis a $q=19, 25, 49$, los autores llenan los vacíos en la literatura respecto a los OPs de grado 7. El trabajo proporciona una lista definitiva de formas explícitas para estos polinomios, los cuales son relevantes para la teoría del diseño, particularmente en la construcción de cuadrados latinos. Los autores señalan que el trabajo futuro implicaría examinar los campos $\mathbb{F}_{7^r}$ ($r \ge 3$) y campos con $q > 31$ donde $q \not\equiv 0, 1, 6 \pmod 7$, aunque anticipan que solo se encontrarán polinomios excepcionales en esos casos.