Envelopes and evolutes

A continuación presento un resumen técnico detallado del artículo "Envelopes and Evolutes" (Envolturas y Evolutas) de Ragni Piene, estructurado según los puntos solicitados.

1. Planteamiento del Problema

El artículo aborda la generalización y formalización algebraica de los conceptos clásicos de envolventes y evolutas de curvas y variedades, trasladándolos del contexto euclidiano real al ámbito de la geometría algebraica compleja proyectiva.

• Contexto Histórico: El estudio de las evolutas (el lugar geométrico de los centros de curvatura o la envolvente de las líneas normales) se remonta a Huygens (curvas planas) y Monge (curvas espaciales). Salmon, en el siglo XIX, estudió estas figuras en el espacio proyectivo complejo, proporcionando fórmulas enumerativas para sus grados y singularidades, pero carecía de una teoría unificada para variedades de dimensión arbitraria.
• El Problema Central: Definir rigurosamente la "evoluta" de una variedad proyectiva compleja de dimensión $r$ en un espacio proyectivo de dimensión $n$. El desafío reside en:
  1. Definir un concepto de "normalidad" (perpendicularidad) en el espacio proyectivo complejo, que carece de una métrica euclidiana natural.
  2. Identificar la evoluta no solo como un lugar geométrico, sino como un lugar de singularidades específico de un mapa entre variedades.
  3. Calcular las clases de ciclos (grados, números de singularidades) de estas evolutas y sus envolventes asociadas, generalizando las fórmulas de Salmon a dimensiones superiores y variedades de dimensión arbitraria.

2. Metodología

El autor emplea una combinación de geometría algebraica, teoría de singularidades de aplicaciones y topología algebraica (clases de Chern y polinomios de Thom).

• Definición de Envolventes: Se define la envolvente de una familia de espacios lineales como el lugar de ramificación (o lugar de rama) de un morfismo $\psi: \mathbb{P}(F) \to \mathbb{P}(V)$, donde $\mathbb{P}(F)$ es el fibrado de espacios lineales sobre una variedad base $X$.
• Singularidades de Thom-Boardman: La envolvente se identifica con la imagen de la singularidad de Thom-Boardman $\Sigma_1$. Las evolutas y sus singularidades de orden superior (como las cúspides de la envolvente) se definen como las imágenes de singularidades de orden superior $\Sigma_{1,1}, \Sigma_{1,1,1}$, etc.
• Estructura Euclidiana Proyectiva: Para definir espacios normales en $\mathbb{P}(V)$, se introduce una "estructura euclidiana" mediante la elección de un hiperplano en el infinito $H_\infty$ y una cuádrica no singular $Q_\infty \subset H_\infty$. Esto permite definir el espacio normal a una variedad $X$ como el espacio polar respecto a $Q_\infty$ del espacio tangente proyectivo.
• Cálculo de Clases de Ciclos:
  • Se utiliza el fibrado normal euclidiano $E = (K_1)^\vee \oplus \mathcal{O}_X(1)$, donde $K_1$ es el fibrado conormal.
  • Las clases de las envolventes y sus singularidades se calculan utilizando polinomios de Thom conocidos para las singularidades $\Sigma_1, \Sigma_{1,1}, \Sigma_{1,1,1}$, expresados en términos de las clases de Chern del fibrado normal y del fibrado tangente.
  • Se aplican fórmulas de proyección y relaciones de Chern para obtener expresiones explícitas en términos de invariantes numéricos de la variedad original (grado, género, clases de Chern).

3. Contribuciones Clave

1. Definición Unificada de Evolutas: Se define la evoluta de una variedad proyectiva de dimensión $r$ en $n$-espacio como el lugar de singularidades de orden $(n-r)$ de la aplicación desde el espacio total de los espacios normales hacia el espacio proyectivo.
2. Interpretación de Singularidades: Se establece que la envolvente es una singularidad de Thom-Boardman de orden 1, la "arista de rebroussement" (borde cuspidal) es de orden 2, y los vértices de la curva (o puntos umbilicales en superficies) corresponden a singularidades de orden superior.
3. Generalización de Fórmulas de Salmon: Se derivan fórmulas generales para el grado de la envolvente, el grado de la evoluta y el número de sus singularidades para curvas y superficies en espacios proyectivos de cualquier dimensión.
4. Conexión con Polinomios de Thom: Se demuestra que las fórmulas enumerativas clásicas pueden recuperarse y generalizarse sistemáticamente mediante el cálculo de polinomios de Thom para las singularidades de las aplicaciones de fibrados.

4. Resultados Principales

El artículo presenta fórmulas explícitas para los grados de las envolventes y evolutas en varios casos:

• Para Curvas ($r=1$) en $\mathbb{P}^n$:

  • Se calcula el grado de la envolvente de los espacios normales ($EE$) y el grado de su borde cuspidal ($CE$, que es la evoluta en $\mathbb{P}^3$).
  • Se verifica que las fórmulas coinciden con las de Salmon para curvas en $\mathbb{P}^3$, incluyendo correcciones por puntos de inflexión y hiperosculación.
  • Se demuestra que el grado de la evoluta de una curva cúbica torcida es 15, con 16 cúspides.
  • Se identifica que las cúspides de la evoluta corresponden a los vértices de la curva original.

• Para Superficies ($r=2$) en $\mathbb{P}^3$:

  • Se obtienen fórmulas para el grado de la "superficie de centros" (evoluta de una superficie), denotada como $EE$, y para el grado de su curva cuspidal ($CE$) y sus cúspides ($\kappa E$).
  • Para una superficie de grado $d$, el grado de la evoluta es $2d(d-1)(2d-1)$.
  • Se discuten los puntos umbilicales (donde los dos focos en la línea normal coinciden). Aunque se intenta calcular su número usando polinomios de Thom para singularidades tipo $D_4$, el autor nota una discrepancia con la fórmula clásica de Salmon ($2d(5d^2 - 14d + 11)$), sugiriendo que la aplicación no es lagrangiana en el sentido proyectivo complejo o que se requiere un enfoque diferente (posiblemente vía el mapa de distancia euclidiana).

• Desarrollables Osculantes:

  • Se estudian las envolventes de los hiperplanos osculantes. Se prueba que la envolvente de los hiperplanos osculantes de orden $n-1$ es la unión de la $(n-2)$-ésima desarrollable osculante y los hiperplanos hiperosculantes.

5. Significado e Impacto

• Unificación Teórica: El trabajo conecta la teoría clásica de evolutes (Huygens, Monge, Salmon) con la teoría moderna de singularidades (Thom, Boardman, Porteous), proporcionando un marco riguroso para el espacio proyectivo complejo.
• Herramienta Enumerativa: Proporciona un método sistemático para calcular invariantes numéricos (grados, clases) de objetos geométricos complejos que antes requerían cálculos ad hoc o solo eran conocidos para dimensiones bajas.
• Generalización: Permite estudiar evolutes de variedades de dimensión arbitraria, algo que no estaba disponible en la literatura clásica.
• Nuevas Direcciones: La discrepancia encontrada en el cálculo de los puntos umbilicales sugiere nuevas líneas de investigación sobre la naturaleza de las singularidades en la geometría proyectiva compleja y la relación con la geometría euclidiana afín.

En resumen, el artículo de Piene es un trabajo fundamental que revitaliza la teoría clásica de evolutes mediante herramientas modernas de geometría algebraica, ofreciendo fórmulas precisas y una comprensión profunda de la estructura de singularidades de las envolventes de variedades proyectivas.