Counting $2 \times 2$ integer matrices with a given determinant

Resumen Técnico: Conteo de Matrices Enteras 2 × 2 con un Determinante Dado

Enunciado del Problema
El artículo aborda el problema de contar matrices enteras $2 \times 2$ con un determinante fijo $h$ cuyas entradas están acotadas en valor absoluto por $N$. Específicamente, sea $D_h = \{(a, b, c, d) \in \mathbb{Z}^4 : ad - bc = h\}$. Los autores definen $T(h, N)$ como la cardinalidad de la intersección $D_h \cap [-N, N]^4$. El objetivo es establecer una fórmula asintótica para $T(h, N)$ cuando $N \to \infty$, válida para $1 \le h \le 2N^2$, y cuantificar el término de error $E_{\ell^\infty}(h, N)$ en la expansión:
$$T(h, N) = \frac{16}{\zeta(2)}N^2 \left( \sum_{d|h} \frac{1}{d} \right) + E_{\ell^\infty}(h, N).$$
Este problema se sitúa dentro del contexto más amplio del conteo de soluciones enteras a ecuaciones cuadráticas y está relacionado con el problema del divisor aditivo binario y la distribución de puntos en hipérbolas modulares.

Metodología
Los autores emplean un enfoque completamente elemental, evitando los métodos espectrales profundos o las estimaciones de sumas de Weil utilizadas en trabajos anteriores. La metodología procede a través de los siguientes pasos:

1. Reducción por Simetría y Reformulación: El problema de conteo se reduce explotando las simetrías de las entradas de la matriz y excluyendo casos triviales (donde las entradas son cero). La suma se reorganiza basándose en el máximo común divisor de los coeficientes en la ecuación diofántica lineal $ux - vy = h/d$.
2. Aproximación mediante Uniformización: Los autores introducen una función de conteo auxiliar $\tilde{r}_{u,v}(n)$ que cuenta soluciones a una condición de congruencia $y \equiv -nv^{-1} \pmod u$ dentro de un intervalo ligeramente relajado. Demuestran que la diferencia entre el conteo exacto $r_{u,v}(n)$ y el conteo aproximado $\tilde{r}_{u,v}(n)$ es despreciable para los propósitos del teorema principal, siempre que $h$ no sea excesivamente grande en relación con $N$.
3. Análisis de Progresiones Aritméticas: El problema se reduce a estimar el número de pares coprimos $(u, v)$ y a contar enteros en progresiones aritméticas. Los autores utilizan lemas estándar de la teoría de números elemental, incluyendo:
   • La distribución de residuos coprimos en intervalos (Lema 2.4).
   • Cotas sobre el número de soluciones a congruencias de la forma $t^m \equiv z \pmod y$ (Lema 2.2).
   • Estimaciones para sumas que involucran el máximo común divisor $(y, m)$ (Lema 2.3).
4. Estimación del Término de Error: Mediante la acotación cuidadosa del error introducido por el paso de uniformización y la suma del término principal, los autores derivan la fórmula asintótica final.

Resultados Clave

• Teorema 1.1 (Fórmula Asintótica Principal): Para cualquier $h, N \in \mathbb{N}$ con $1 \le h \le 2N^2$, los autores demuestran:
  $$T(h, N) = \frac{16}{\zeta(2)}N^2 \left( \sum_{d|h} \frac{1}{d} \right) + O_\varepsilon(N^\varepsilon(N + h)).$$
  Este resultado mejora cuantitativamente las cotas anteriores de Afifurrahman ($O_\varepsilon(N^\varepsilon(h + N^{5/3}))$) y Ganguly–Guria ($O_\varepsilon(h^\theta N^{3/2+\varepsilon})$). Crucialmente, en el rango $h \le N$, el término de error satisface $E_{\ell^\infty}(h, N) \ll_\varepsilon N^{1+\varepsilon}$, lo que representa una cancelación de raíz cuadrada y se alinea con las cotas conjeturadas para problemas de divisores relacionados.

• Teorema 1.2 (Cota Inferior del Error): Los autores establecen que para $N^{1+\delta} \le h \le 2N^2$ (donde $\delta \in (0, 1]$), el término de error satisface:
  $$E_{\ell^\infty}(h, N) \gg h.$$
  Esto demuestra que cuando $h$ es grande (específicamente $h \ge N^{1+\delta}$), el término de error es del orden de $h$, lo cual es comparable a la magnitud del término principal en ciertos regímenes. Esto implica que la cota conjeturada $O_\varepsilon(N^{1+\varepsilon})$ no puede sostenerse uniformemente para todo $h$ en el rango $1 \le h \le 2N^2$.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma proporcionar una prueba "breve y completamente elemental" que mejora significativamente las cotas superiores conocidas para el término de error en el conteo de matrices enteras con determinante fijo.

• Mejora sobre Trabajos Previos: El resultado supera trabajos recientes de Afifurrahman y Ganguly–Guria, ofreciendo una cota de error más ajustada que confirma un análogo de las cotas conjeturadas para el problema del divisor aditivo binario en el contexto de matrices acotadas en $\ell^\infty$.
• Optimalidad de las Cotas: La cota inferior en el Teorema 1.2 sugiere que el término de error derivado en el Teorema 1.1 es esencialmente del orden correcto cuando $h$ es grande ($h \gg N$). Los autores señalan que para $h \gg N^2$, el término de error coincide con el orden del término principal, indicando un cambio en la naturaleza del comportamiento asintótico, aunque no proporcionan un nuevo término principal para este régimen específico.
• Independencia: Los autores reconocen que Dhanda–Haynes–Prasala demostraron independientemente el Teorema 1.1.

El artículo no propone nuevas aplicaciones ni direcciones experimentales futuras, sino que enmarca su contribución como una resolución a un problema cuantitativo específico en teoría de números analítica utilizando técnicas elementales, aclarando así los límites de las estimaciones actuales para esta clase de problemas.