Affine Jacobi-Trudi Identities and $q,t$-Rogers-Ramanujan Identities

Resumen Técnico: Identidades de Jacobi–Trudi Afinas e Identidades de Rogers–Ramanujan $q, t$

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la falta de identidades de Jacobi–Trudi conocidas para generalizaciones significativas de las funciones de Schur, específicamente los polinomios de Hall–Littlewood asociados con sistemas de raíces afines ($B_n, C_n, BC_n$). Mientras que las identidades clásicas de Jacobi–Trudi y de Jacobi–Trudi dual expresan las funciones de Schur como determinantes de funciones simétricas completas o elementales, fórmulas análogas para los polinomios de Hall–Littlewood indexados por particiones rectangulares de altura máxima han permanecido mayoritariamente como conjeturas. Además, el artículo busca utilizar estas identidades para derivar nuevas identidades de Rogers–Ramanujan $q, t$-análogas para los caracteres de los módulos estándar de álgebras de Lie afines.

Metodología
El autor emplea una combinación de la teoría de funciones simétricas, la teoría de bases de cristal y argumentos analíticos:

1. Marco Conjetural: El artículo propone análogos afinos de las identidades de Jacobi–Trudi duales para los polinomios de Hall–Littlewood indexados por particiones rectangulares $(k^r)$. Estas conjeturas expresan los polinomios como sumas sobre el grupo de Weyl afín (específicamente $W(A^{(1)}_{k-1})$) de determinantes que involucran funciones simétricas elementales con índices desplazados y pesos dependientes de $t$.
2. Demostración del Teorema 1.1: Se proporciona una demostración rigurosa para el caso $GL(n, \mathbb{C})$ (polinomios de Hall–Littlewood ordinarios) indexados por formas rectangulares. Esta demostración se basa en resultados de la teoría de bases de cristal de Schilling y Shimozono relativos a caminos de nivel restringido para $U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_k)$.
3. Verificación de Conjeturas: Para los casos $B_n, C_n,$ y $BC_n$, las conjeturas se demuestran para el caso específico $k=1$ utilizando identidades de Littlewood acotadas y pares de Bailey (específicamente aquellos de la lista de Slater). Adicionalmente, se proporcionan demostraciones para $t=1$ para identidades específicas utilizando funciones de Schur cilíndricas.
4. Derivación de Identidades de Rogers–Ramanujan: Las fórmulas de Jacobi–Trudi conjeturales se especializan (estableciendo las variables $x_i = q^{i-1/2}$ o $q^i$ y tomando el límite $n \to \infty$) para derivar identidades de Rogers–Ramanujan $q, t$-análogas para los caracteres de los módulos estándar de álgebras de Lie afines. Estas derivaciones utilizan identidades de Macdonald para sistemas de raíces afines ($C^{(1)}_k, A^{(2)}_{2k}, D^{(2)}_{k+1}$).
5. Demostraciones Incondicionales: Para establecer las identidades de Rogers–Ramanujan $q, t$ sin depender de las conjeturas de Jacobi–Trudi no probadas, el autor emplea el argumento analítico de Ismail. Esto implica mostrar que la diferencia entre los lados de serie y producto de las identidades se anula en puntos específicos ($t = q^N$) y utilizar el teorema de identidad para funciones analíticas.

Contribuciones Clave y Resultados

• Identidades de Jacobi–Trudi Duales Afinas:
  • Teorema 1.1: Demuestra una fórmula de Jacobi–Trudi dual afín para los polinomios de Hall–Littlewood ordinarios $P_{(k^r)}(x; t)$ como una suma sobre la red de raíces $Q$ de determinantes que involucran funciones simétricas elementales.
  • Conjeturas 1.2–1.4: Propone fórmulas análogas para los polinomios de Hall–Littlewood de $B_n, C_n,$ y $BC_n$. Estas se demuestran para $k=1$ y para valores específicos de $t$ ($t=1$).
• Nuevas Identidades de Rogers–Ramanujan $q, t$:
  • Teoremas 1.5–1.8: Establece cuatro nuevas familias de identidades de Rogers–Ramanujan $q, t$ correspondientes a los sistemas de raíces afines $C^{(1)}_k, A^{(2)}_{2k}, D^{(2)}_{k+1},$ y $A^{(2)}_{2k-1}$. Estas identidades generalizan los resultados clásicos (Rogers–Ramanujan, Andrews–Gordon, identidades GOW) al introducir un segundo parámetro $t$ (el parámetro de Hall–Littlewood) mientras mantienen una forma de producto en el lado derecho.
  • Corolarios 5.1–5.18: Deriva una lista exhaustiva de identidades de Rogers–Ramanujan para los caracteres de los módulos estándar de álgebras de Lie afines ($A^{(2)}_{2n}, C^{(1)}_n, D^{(2)}_{n+1}, B^{(1)}_n, D^{(1)}_n$). Esto incluye ocho nuevas identidades no encontradas previamente en la literatura.
• Dualidad Nivel-Rango: El artículo demuestra una manifestación novedosa de la dualidad nivel-rango, mostrando cómo la especialización del parámetro $t$ en las identidades $q, t$ conduce a identidades conocidas y nuevas para los caracteres de álgebras de Lie afines.
• Resultados del Apéndice: Demuestra una nueva familia de identidades de tipo Rogers–Ramanujan (Ecuación 5.21) relacionada con el caso $A^{(2)}_{2n}$, descubierta por Matthew Russell, la cual se conecta con los caracteres del álgebra de Virasoro.

Significancia
El artículo afirma avanzar en la comprensión de la estructura combinatoria de los polinomios de Hall–Littlewood al proporcionar las primeras fórmulas de Jacobi–Trudi afinas para formas rectangulares en los casos $B_n, C_n,$ y $BC_n$ (aunque sea de forma conjetural para un $k$ general). La principal significancia radica en la unificación de estas identidades combinatorias con la teoría de la representación de álgebras de Lie afines. Al derivar $q, t$-análogos de las identidades de Rogers–Ramanujan, el trabajo extiende la correspondencia clásica entre identidades de particiones y caracteres de álgebras de Lie afines a un entorno de dos parámetros. Las demostraciones incondicionales de las identidades de Rogers–Ramanujan resultantes aseguran que las nuevas fórmulas de caracteres para los módulos estándar sean válidas independientemente del estatus de las conjeturas subyacentes de Jacobi–Trudi. El trabajo está dedicado a Jim Lepowsky, reconociendo su papel fundacional en la conexión de las identidades de Rogers–Ramanujan con la teoría de la representación.