Non-parametric Causal Inference in Dynamic Thresholding Designs

Resumen Técnico: Inferencia Causal No Paramétrica en Diseños de Umbralización Dinámica

Enunciado del Problema
Los diseños de discontinuidad en la regresión (RD) son una herramienta estándar para la inferencia causal no paramétrica en contextos estáticos, donde el tratamiento se asigna en función de si una variable de ejecución cruza un umbral fijo. Sin embargo, muchas decisiones trascendentales en el ámbito de la salud, la educación y las políticas públicas ocurren en contextos dinámicos donde la variable de ejecución evoluciona a lo largo del tiempo y se ve influenciada por tratamientos pasados. Por ejemplo, el nivel de azúcar en sangre de un paciente (la variable de ejecución) en un año posterior depende de si recibió intervenciones en el estilo de vida (tratamiento) durante el año anterior.

La literatura existente sobre RD se centra en contextos transversales donde las unidades reciben tratamiento una sola vez. La aplicación directa de los métodos estándar de RD a contextos dinámicos falla porque:

1. Los tratamientos pasados alteran la distribución de las variables de ejecución futuras, creando bucles de retroalimentación complejos.
2. Definir estimandos causales para cada historial de tratamiento posible conduce a una "maldición de la dimensionalidad" a medida que crece el horizonte temporal.
3. Los enfoques de forma reducida (por ejemplo, regredir resultados futuros sobre la variable de ejecución inicial) no capturan los efectos completos del tratamiento dinámico y no son directamente interpretables como parámetros relevantes para la política.

Metodología
Los autores proponen un marco para la inferencia causal no paramétrica en diseños de umbralización dinámica que tiene en cuenta la dinámica del tratamiento sin imponer supuestos paramétricos restrictivos.

• Estimando Objetivo (Efecto Marginal de la Política): El artículo reinterpreta el estimando clásico de RD no meramente como el efecto promedio del tratamiento local (LATE) en el punto de corte, sino como un efecto marginal de la política. Específicamente, se define como la relación entre la derivada del bienestar esperado descontado (función de valor) con respecto al umbral $c$, y la derivada de la frecuencia de tratamiento esperada descontada con respecto a $c$:
  $$\tau^{RD} := \frac{\partial V^Y(\pi_c)}{\partial c} \Big/ \frac{\partial V^A(\pi_c)}{\partial c}$$
  donde $V^Y$ y $V^A$ representan los resultados esperados netos descontados y las cuentas de tratamiento, respectivamente, bajo la política $\pi_c$. Esta relación caracteriza la compensación costo-beneficio de reducir marginalmente el umbral.

• Identificación mediante Funciones Q: Basándose en el aprendizaje por refuerzo (RL) y los procesos de decisión de Markov (MDP), los autores utilizan la función Q (función valor-acción) para identificar los gradientes de la política. Demuestran que, bajo la fórmula g (que se cumple si el sistema sigue una estructura de Markov, incluso con estados no observados), los gradientes de la política pueden expresarse como una suma descontada de las diferencias de la función Q en el umbral, ponderadas por la densidad condicional de la variable de ejecución.
  $$-\frac{\partial V^Y(\pi_c)}{\partial c} = \sum_{t=0}^T \gamma^t E\left[ (Q^Y_{c,t}(S_t, c, 1) - Q^Y_{c,t}(S_t, c, 0)) f_t(c | S_t) \right]$$
  Esta caracterización permite identificar el efecto marginal dinámico de la política utilizando datos recopilados en un único umbral de situación actual.

• Estimación (Regresión Lineal Local con Doble Descuento): Para estimar $\tau^{RD}$, los autores proponen un estimador de regresión lineal local (LLR) adaptado. A diferencia de la RD estática estándar, este estimador:

  1. Utiliza sumas descontadas de resultados futuros ($\Gamma^Y_{i,t}$) y tratamientos ($\Gamma^A_{i,t}$) como variables dependientes, en lugar de resultados inmediatos. Esto aproxima las funciones Q e incorpora efectos a largo plazo aguas abajo.
  2. Aplica pesos de descuento temporal ($\gamma^t$) a las observaciones, reflejando la estructura del teorema del gradiente de la política.
  3. Incluye efectos fijos temporales para absorber desplazamientos específicos del tiempo comunes entre unidades, reduciendo la varianza asintótica.
  4. Adopta una forma de relación ($\hat{\tau}^Y / \hat{\tau}^A$), análoga a los estimadores de RD difusa, para tener en cuenta la incertidumbre sobre cómo el cambio del umbral afecta la frecuencia futura de tratamiento.

Resultados Clave

• Consistencia: Bajo condiciones de regularidad estándar (continuidad de las funciones de respuesta condicional y densidades en el punto de corte, suavidad de las funciones Q), el estimador propuesto es consistente para el efecto marginal dinámico de la política $\tau^{RD}$.
• Distribución Asintótica: El estimador alcanza la tasa de convergencia no paramétrica estándar de $n^{-2/5}$ (con ancho de banda $h_n \sim n^{-1/5}$). La varianza asintótica agrega la incertidumbre a través de todos los periodos temporales, ponderada por $\gamma^{2t}$.
• Estimación de la Varianza: Los autores proponen un estimador de varianza tipo sándwich agrupado por unidad que estima consistentemente la varianza asintótica, teniendo en cuenta la dependencia arbitraria a lo largo del tiempo dentro de una trayectoria.
• Selección del Ancho de Banda: Se deriva una regla de selección de ancho de banda basada en datos, que extiende el método de Imbens-Kalyanaraman (2012) al contexto dinámico mediante el uso de resultados residualizados y estimaciones de varianza agrupadas por unidad.

Validación Empírica
Los autores validan su enfoque mediante dos experimentos numéricos:

1. Simulador Autoregresivo: Un proceso generador de datos estilizado donde el estado evoluciona en función de tratamientos pasados. El método propuesto recupera correctamente el efecto marginal dinámico de la política, mientras que la LLR estándar (dirigida a efectos de equilibrio parcial) y la LLR de largo plazo ingenua (ignorando cruces futuros del umbral) no proporcionan inferencia válida o exhiben un sesgo significativo.
2. Simulador de Diabetes Tipo 1 UVa/Padova: Utilizando un simulador aprobado por la FDA para el monitoreo continuo de glucosa, los autores emulan una regla de umbralización dinámica para la administración de insulina. El método propuesto mantiene la cobertura nominal para los intervalos de confianza a través de diversos factores de descuento, mientras que los métodos competidores ya sea subcobren severamente (LLR estándar) o produzcan intervalos extremadamente amplios e informativos (LLR de largo plazo ingenua).

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma proporcionar los primeros resultados de inferencia causal no paramétrica para diseños de umbralización dinámica con una generalidad comparable a los resultados estándar de RD transversal.

• Relevancia para la Política: Al enmarcar el estimando como un efecto marginal de la política, el enfoque permite directamente el análisis costo-beneficio para la asignación de recursos (por ejemplo, determinar si se debe reducir un umbral de cribado de salud).
• Robustez: El método evita los supuestos paramétricos restrictivos requeridos por enfoques previos de RD dinámica (por ejemplo, Cellini et al., 2010) y los fuertes supuestos de independencia condicional requeridos por otros (por ejemplo, Hsu y Shen, 2024).
• Puente Teórico: El trabajo conecta la literatura sobre diseños de discontinuidad en la regresión con el aprendizaje por refuerzo y los teoremas de gradiente de la política, demostrando que los conceptos de gradiente de la política pueden adaptarse para la inferencia causal observacional en contextos con interferencia temporal.

Los autores señalan que, aunque su estimador específico de regresión lineal local es consistente, persisten preguntas sobre la eficiencia de otros algoritmos y la adaptación de procedimientos de inferencia conscientes del sesgo (como Calonico et al., 2014) al contexto dinámico.