Non-parametric Causal Inference in Dynamic Thresholding Designs

Résumé technique : Inférence causale non paramétrique dans les designs à seuils dynamiques

Énoncé du problème
Les designs de discontinuité de régression (RD) constituent un outil standard pour l'inférence causale non paramétrique dans des contextes statiques, où l'attribution du traitement dépend du franchissement d'un seuil fixe par une variable de running. Cependant, de nombreuses décisions cruciales dans les domaines de la santé, de l'éducation et des politiques publiques surviennent dans des contextes dynamiques où la variable de running évolue dans le temps et est influencée par les traitements passés. Par exemple, le taux de sucre sanguin d'un patient (la variable de running) au cours d'une année ultérieure dépend de savoir s'il a reçu des interventions sur le mode de vie (traitement) l'année précédente.

La littérature existante sur la RD se concentre sur des contextes transversaux où les unités reçoivent un traitement une seule fois. L'application directe des méthodes RD standard aux contextes dynamiques échoue car :

1. Les traitements passés modifient la distribution des variables de running futures, créant des boucles de rétroaction complexes.
2. La définition d'estimands causaux pour chaque historique de traitement possible conduit à une « malédiction de la dimensionnalité » à mesure que l'horizon temporel s'étend.
3. Les approches en forme réduite (par exemple, régresser les résultats futurs sur la variable de running initiale) échouent à capturer l'ensemble des effets dynamiques du traitement et ne sont pas directement interprétables comme des paramètres pertinents pour les politiques publiques.

Méthodologie
Les auteurs proposent un cadre pour l'inférence causale non paramétrique dans les designs à seuils dynamiques qui prend en compte la dynamique du traitement sans imposer d'hypothèses paramétriques restrictives.

• Estimand cible (Effet marginal de politique) : L'article réinterprète l'estimand classique de la RD non pas simplement comme l'effet moyen local du traitement (LATE) au seuil, mais comme un effet marginal de politique. Plus précisément, il est défini comme le rapport de la dérivée du bien-être espéré actualisé (fonction de valeur) par rapport au seuil $c$, à la dérivée de la fréquence de traitement espérée actualisée par rapport à $c$ :
  $$\tau^{RD} := \frac{\partial V^Y(\pi_c)}{\partial c} \Big/ \frac{\partial V^A(\pi_c)}{\partial c}$$
  où $V^Y$ et $V^A$ représentent respectivement les résultats espérés nets actualisés et les comptes de traitement sous la politique $\pi_c$. Ce rapport caractérise le compromis coût-bénéfice d'une baisse marginale du seuil.

• Identification via les fonctions Q : S'inspirant de l'apprentissage par renforcement (RL) et des processus de décision markoviens (MDP), les auteurs utilisent la fonction Q (fonction valeur-action) pour identifier les gradients de politique. Ils montrent que, sous la formule g (qui est valable si le système suit une structure markovienne, même avec des états non observés), les gradients de politique peuvent s'exprimer comme une somme actualisée des différences de fonction Q au seuil, pondérée par la densité conditionnelle de la variable de running.
  $$-\frac{\partial V^Y(\pi_c)}{\partial c} = \sum_{t=0}^T \gamma^t E\left[ (Q^Y_{c,t}(S_t, c, 1) - Q^Y_{c,t}(S_t, c, 0)) f_t(c | S_t) \right]$$
  Cette caractérisation permet d'identifier l'effet marginal de politique dynamique en utilisant des données collectées à un seul seuil de statu quo.

• Estimation (Régression linéaire locale à double actualisation) : Pour estimer $\tau^{RD}$, les auteurs proposent un estimateur de régression linéaire locale (LLR) adapté. Contrairement à la RD statique standard, cet estimateur :

  1. Utilise les sommes actualisées des résultats futurs ($\Gamma^Y_{i,t}$) et des traitements ($\Gamma^A_{i,t}$) comme variables dépendantes, plutôt que les résultats immédiats. Cela approxime les fonctions Q et intègre les effets à long terme en aval.
  2. Applique des poids d'actualisation temporelle ($\gamma^t$) aux observations, reflétant la structure du théorème du gradient de politique.
  3. Inclut des effets fixes temporels pour absorber les décalages spécifiques au temps communs à toutes les unités, réduisant ainsi la variance asymptotique.
  4. Prend une forme de rapport ($\hat{\tau}^Y / \hat{\tau}^A$), analogue aux estimateurs de RD floue, pour tenir compte de l'incertitude quant à la manière dont la modification du seuil affecte la fréquence future des traitements.

Résultats clés

• Consistance : Sous des conditions de régularité standard (continuité des fonctions de réponse conditionnelles et des densités au seuil, régularité des fonctions Q), l'estimateur proposé est consistant pour l'effet marginal de politique dynamique $\tau^{RD}$.
• Distribution asymptotique : L'estimateur atteint le taux de convergence non paramétrique standard de $n^{-2/5}$ (avec une fenêtre de lissage $h_n \sim n^{-1/5}$). La variance asymptotique agrège l'incertitude sur toutes les périodes temporelles, pondérée par $\gamma^{2t}$.
• Estimation de la variance : Les auteurs proposent un estimateur de variance sandwich en grappes par unité qui estime de manière consistante la variance asymptotique, tenant compte de toute dépendance arbitraire dans le temps au sein d'une trajectoire.
• Sélection de la fenêtre de lissage : Une règle de sélection de fenêtre de lissage pilotée par les données est dérivée, étendant la méthode d'Imbens-Kalyanaraman (2012) au contexte dynamique en utilisant des résultats résiduels et des estimations de variance en grappes par unité.

Validation empirique
Les auteurs valident leur approche à travers deux expériences numériques :

1. Simulateur autorégressif : Un processus de génération de données stylisé où l'état évolue en fonction des traitements passés. La méthode proposée récupère correctement l'effet marginal de politique dynamique, tandis que la LLR standard (ciblant les effets d'équilibre partiel) et la LLR naïve à long terme (ignorant les franchissements de seuils futurs) échouent à fournir une inférence valide ou présentent un biais significatif.
2. Simulateur UVa/Padova pour le diabète de type 1 : En utilisant un simulateur approuvé par la FDA pour la surveillance continue du glucose, les auteurs émulent une règle à seuils dynamiques pour l'administration d'insuline. La méthode proposée maintient une couverture nominale pour les intervalles de confiance à travers divers facteurs d'actualisation, tandis que les méthodes concurrentes soit sous-couvrent sévèrement (LLR standard), soit produisent des intervalles non informatifs et extrêmement larges (LLR naïve à long terme).

Signification et affirmations
L'article prétend fournir les premiers résultats d'inférence causale non paramétrique pour les designs à seuils dynamiques, avec une généralité comparable aux résultats RD transversaux standards.

• Pertinence politique : En présentant l'estimand comme un effet marginal de politique, l'approche permet directement l'analyse coût-bénéfice pour l'allocation des ressources (par exemple, déterminer s'il faut abaisser un seuil de dépistage de santé).
• Robustesse : La méthode évite les hypothèses paramétriques restrictives requises par les approches RD dynamiques précédentes (par exemple, Cellini et al., 2010) et les fortes hypothèses d'indépendance conditionnelle requises par d'autres (par exemple, Hsu et Shen, 2024).
• Pont théorique : Ce travail fait le pont entre la littérature sur les designs de discontinuité de régression et l'apprentissage par renforcement ainsi que les théorèmes de gradient de politique, démontrant que les concepts de gradient de politique peuvent être adaptés à l'inférence causale observationnelle dans des contextes avec interférence temporelle.

Les auteurs notent que, bien que leur estimateur spécifique de régression linéaire locale soit consistant, des questions subsistent concernant l'efficacité d'autres algorithmes et l'adaptation des procédures d'inférence conscientes du biais (comme Calonico et al., 2014) au contexte dynamique.