Scalar-on-distribution regression via generalized odds with applications to accelerometry-assessed disability in multiple sclerosis

Resumen Técnico: Regresión de Escalar sobre Distribución mediante Odds Generalizados

Planteamiento del Problema
Las tecnologías de salud digital (DHT, por sus siglas en inglés) generan datos conductuales continuos y de alta resolución (por ejemplo, acelerometría a nivel de minuto) que forman ricas distribuciones específicas por sujeto. Si bien estas distribuciones contienen más información que los resúmenes escalares (por ejemplo, los recuentos totales de actividad diaria), identificar qué características distribucionales son más predictivas de los resultados clínicos sigue siendo un desafío abierto. Un trabajo previo de Niyogi et al. [2024] demostró que las representaciones basadas en el riesgo (hazard-based representations), que enfatizan el comportamiento de la cola (niveles de actividad extremos), superan a otras representaciones en la predicción de la discapacidad en la esclerosis múltiple (EM). Sin embargo, los métodos existentes suelen depender de objetos distribucionales específicos (densidades, cuantiles, supervivencia o funciones de riesgo) que pueden no capturar plenamente el contraste entre los valores extremos y los típicos, particularmente en contextos de datos dispersos o discretos.

Metodología
Los autores proponen un marco unificado de Odds Generalizados (GO) para representar distribuciones específicas de sujetos y un modelo correspondiente de regresión de escalar sobre odds.

1. Definición de Odds Generalizados:
   El marco define una función de odds generalizados específica del sujeto, $h_{4,F}$, como la razón de las probabilidades de dos eventos arbitrarios dentro del espacio muestral. Para una variable aleatoria $X$ con distribución $F$, e intervalos $A=[u_1, u_2]$ y $B=[u_3, u_4]$, la GO se define como:
   $$h_{4,F}(u_1, u_2, u_3, u_4) = \frac{P(X \in [u_3, u_4])}{P(X \in [u_1, u_2])} = \frac{F(u_4) - F(u_3)}{F(u_2) - F(u_1)}$$
   Esta formulación generaliza los objetos distribucionales existentes:

   • Función de Masa de Probabilidad (PMF): $h_{4,F}(0, D, k, k-1) = p(k)$.
   • Función de Riesgo (Hazard Function): $h_{4,F}(k, D, k-1, k) = \lambda(k)$.
   • Distribución de Vida Residual: $h_{4,F}(t, D, t, t+u)$.
   • Objetos de 1 índice y 2 índices: Casos especiales que comparan la supervivencia con la probabilidad acumulada ($S(u)/F(u)$) o la supervivencia con la supervivencia ($S(u_2)/F(u_1)$).

2. Modelo de Regresión:
   Los autores formulan un modelo de regresión de escalar sobre funcional donde el resultado clínico $y_i$ (por ejemplo, la puntuación EDSS) se vincula a la función de GO $h_{F_i}$ mediante una función de enlace $g$:
   $$g(\mu_i) = \alpha + \int \beta(u) h_{F_i}(u) du$$
   donde $\mu_i = E[y_i | X_i]$. La función de coeficiente $\beta(u)$ se estima utilizando una representación funcional basada en splines. Específicamente, $\beta$ se aproxima mediante un producto tensorial de funciones de base B-spline:
   $$\beta(u_1, u_2, u_3, u_4) = \sum_{k_1}\sum_{k_2}\sum_{k_3}\sum_{k_4} b_{k_1,k_2,k_3,k_4} B_{k_1}(u_1)B_{k_2}(u_2)B_{k_3}(u_3)B_{k_4}(u_4)$$

3. Estimación y Regularización:
   Para manejar la alta dimensionalidad de los coeficientes tensoriales e identificar regiones distribucionales informativas, los autores emplean la estimación de máxima verosimilitud penalizada. Evalúan cuatro funciones de penalización para inducir la dispersión (sparsity) y la selección de variables:

   • Lasso ($L_1$)
   • Elastic Net
   • Desviación Absoluta Recortada Suavemente (Smoothly Clipped Absolute Deviation - SCAD)
   • Penalización Cóncava Minimax (Minimax Concave Penalty - MCP)

Datos y Aplicación
La metodología se aplica a los datos del estudio HEAL-MS (Home-based Evaluation of Actigraphy to Predict Longitudinal Function in Multiple Sclerosis), que involucra a 248 participantes con EM.

• Predictores: Datos de acelerometría portados en la muñeca (GT9X Actigraph), recolectados durante 2 semanas, procesados en recuentos de actividad por época de 1 minuto (transformación logarítmica) desde las 8 AM hasta las 8 PM.
• Resultado: Puntuaciones de la Escala Expandida de Discapacidad (EDSS) (0–10).
• Comparación: Los modelos GO se comparan contra los resúmenes escalares clásicos (recuentos de actividad promedio) y modelos de escalar-sobre-supervivencia.

Resultados Clave
Utilizando validación cruzada de 5 pliegues con 100 replicaciones, el estudio reporta el siguiente rendimiento predictivo (medido por $R^2$ de validación cruzada) para las puntuaciones de EDSS:

• Resumen Escalar (Actividad Promedio): $R^2 \approx 0.095$.
• Escalar-sobre-Supervivencia: $R^2 \approx 0.115$.
• Escalar-sobre-Odds de 1 índice: $R^2 \approx 0.151$ (Lasso).
• Escalar-sobre-Odds de 2 índices: $R^2 \approx 0.146 - 0.151$.
• Escalar-sobre-Odds de 4 índices (Generalizado): $R^2 \approx 0.208 - 0.209$.

El modelo de GO de 4 índices superó consistentemente a todos los demás enfoques, casi duplicando el rendimiento predictivo del resumen escalar y mejorando significativamente el modelo basado en la supervivencia. Las penalizaciones Elastic Net y Lasso produjeron los valores de $R^2$ más altos para el modelo de 4 índices.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo sostiene que el marco de Odds Generalizados ofrece un avance metodológico significativo al:

1. Apuntar Directamente al Comportamiento de la Cola: A diferencia de las representaciones de índice único (por ejemplo, densidades) que resumen la forma general, las funciones de GO contrastan explícitamente los valores extremos frente a los valores típicos, capturando el "comportamiento de la cola" identificado como crítico en investigaciones previas de EM.
2. Robustez: La formulación basada en razones permanece bien definida y estable incluso para datos dispersos, acotados o discretos donde la estimación directa de la densidad podría fallar.
3. Marco Unificado: Subsume las representaciones de riesgo, supervivencia y vida residual como casos especiales, proporcionando un enfoque flexible y unificado para las covariables distribucionales.

Los autores concluyen que las covariables distribucionales basadas en odds proporcionan un valor predictivo superior para los datos de DHT en entornos clínicos, demostrando específicamente que el comportamiento de la cola en la actividad física es un motor crítico de los resultados de discapacidad en la esclerosis múltiple. Señalan que, aunque la aplicación se centró en la EM, el marco es ampliamente aplicable a otros dominios donde los contrastes entre comportamientos extremos y típicos son científicamente significativos.