From ABC to Effective Roth and Ridout Constants for Cubic Roots

Resumen Técnico: De ABC a las Constantes Efectivas de Roth y Ridout para Raíces Cúbicas

Planteamiento del Problema
El teorema de Roth (1955) establece que para cualquier número algebraico $\alpha$ y cualquier $\epsilon > 0$, existe una constante $C(\alpha, \epsilon)$ tal que $|\alpha - p/q| > C/q^{2+\epsilon}$ para todos los enteros $p, q$. Sin embargo, la prueba original es inefectiva, lo que significa que garantiza la existencia de $C$ sin proporcionar un método para calcular un valor explícito. Aunque Bombieri (1994) y Van Frankenhuysen (1999) demostraron que la conjetura ABC implica el teorema de Roth, estas implicaciones no han producido constantes explícitas en una familia natural de casos. Este artículo aborda la brecha entre la existencia condicional de los límites de tipo Roth y la derivación de constantes explícitas y efectivas, específicamente para raíces cúbicas ($\sqrt[3]{k}$), aprovechando una forma efectiva de la conjetura ABC.

Metodología
Los autores emplean un enfoque constructivo que vincula los datos de aproximación diofántica con las propiedades aritméticas de las triples ABC. La metodología central consta de tres componentes principales:

1. Fórmula de Bombieri–Van der Poorten: Los autores utilizan la fórmula explícita para los coeficientes ($b_n$) de la fracción continua regular de números algebraicos, especializada para raíces cúbicas ($\alpha = \sqrt[3]{k}$). Para los convergentes $p_n/q_n$, la fórmula relaciona el siguiente coeficiente $b_{n+1}$ con el término de residuo $d_n = |p_n^3 - k q_n^3|$. Específicamente, para raíces cúbicas, el término principal domina al residuo, lo que produce la desigualdad rigurosa:
   $$b_{n+1} \leq \frac{3p_n^2 q_n}{d_n}$$
   Esto permite la traducción de la calidad de la aproximación (codificada en $b_n$) en datos aritméticos ($d_n$).

2. Construcción de Triples ABC: Las "ecuaciones resultantes" de los convergentes, $p_n^3 = k q_n^3 + d_n$, se transforman en triples ABC coprimos. Al definir $g_n = \gcd(k q_n^3, d_n) = \gcd(k, p_n^3)$, los autores construyen la triple:
   $$\left( \frac{p_n^3}{g_n}, \frac{k q_n^3}{g_n}, \frac{d_n}{g_n} \right)$$
   Esto asegura que la triple consista en enteros coprimos, satisfaciendo los prerrequisitos para aplicar la conjetura ABC.

3. Derivación de Límites Efectivos: Asumiendo una forma efectiva de la conjetura ABC (donde existe una constante $K_\epsilon$ tal que $c < K_\epsilon \cdot \text{rad}(abc)^{1+\epsilon}$), los autores sustituyen la triple construida en la desigualdad. Al combinar esto con el límite de Bombieri–Van der Poorten para $b_{n+1}$, derivan una relación explícita entre el parámetro $\epsilon$ en el teorema de Roth ($\epsilon_{Roth}$) y el $\epsilon$ en la conjetura ABC ($\epsilon_{ABC}$), así como un límite superior explícito para el inverso de la constante de Roth ($1/C$).

Contribuciones Clave y Resultados

• Constantes de Roth Explícitas para Raíces Cúbicas: El artículo deriva un límite totalmente explícito para el inverso de la constante de Roth para $\sqrt[3]{k}$. La relación entre los parámetros viene dada por $\epsilon_{Roth} = \frac{3\epsilon_{ABC}}{1+\epsilon_{ABC}}$. El límite para $1/C$ se expresa en términos de la constante ABC $K_\epsilon$, el entero $k$ y los convergentes iniciales.
• Análisis Numérico para $\sqrt[3]{2}$: Los autores aplican su método a $\sqrt[3]{2}$. Para $\epsilon_{Roth} = 0.5$, la derivación basada en ABC produce un límite de aproximadamente $13.16$ para $1/C$, comparado con el resultado exacto de Korobov de $3.15$. Aunque el límite derivado de ABC es menos preciso en este caso específico (atribuido al uso de límites superiores gruesos para los convergentes), demuestra la viabilidad del método. Cálculos similares se proporcionan para $\epsilon_{Roth} = 0.4$.
• Extensión al Teorema de Ridout: La metodología se extiende para proporcionar límites explícitos para el número de soluciones en el teorema de Ridout (relativo a aproximaciones por $S$-enteros) tanto para raíces cuadradas como cúbicas. Los autores muestran que, para un $\epsilon > 0$ fijo y una constante ABC efectiva, el conjunto de soluciones es finito y está explícitamente acotado.
• Ganancia de Aproximación y la Conjetura: Se introduce un nuevo concepto, "ganancia de aproximación", como un refinamiento de la "calidad" de un acierto (hit) de ABC. Se define basándose en la razón logarítmica de los términos en la ecuación resultante. Los autores demuestran que, para raíces cúbicas ($k \geq 3$ y $k=2$), la ganancia de aproximación está estrictamente acotada por $3/2$.
  • Teoremas 2.7 y 2.8: Para todas las ecuaciones resultantes provenientes de convergentes a $\sqrt[3]{k}$, la ganancia de aproximación es menor que $3/2$.
  • Verificación Computacional: Este límite fue verificado computacionalmente para $c < 2^{63}$.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma hacer explícita la dependencia de las constantes de tipo Roth con los parámetros de ABC, pasando de una implicación teórica a un marco calculable para raíces cúbicas. La significancia radica en:

1. Puente entre Teoría y Computación: Proporciona una vía concreta para calcular los límites de aproximación diofántica asumiendo una conjetura ABC efectiva.
2. Descomposición Estratégica de ABC: Los autores proponen una estrategia potencial para atacar la conjetura ABC separando la "calidad" de un acierto de ABC en dos componentes: "ganancia de aproximación" y "ganancia de potencia".
   • Conjeturan que la ganancia de aproximación siempre está acotada por $3/2$ (probado para raíces cúbicas).
   • Sugieren que si la ganancia de potencia también puede acotarse (por ejemplo, por 3), la conjetura ABC podría probarse.
3. Refinamiento de Límites: El trabajo introduce la ganancia de aproximación como una métrica que es siempre menor o igual a la calidad estándar, ofreciendo una restricción potencialmente más ajustada para analizar los aciertos de ABC.

Los autores se mantienen modestos respecto a la precisión de las constantes de Roth derivadas, señalando que, en los casos probados (como $\sqrt[3]{2}$), los límites basados en ABC son actualmente más laxos que los resultados específicos conocidos (por ejemplo, los de Korobov). Sin embargo, enfatizan que el enfoque logra hacer las constantes explícitas y ofrece una descomposición novedosa para la investigación futura de la conjetura ABC.