Generalized Bassian Modules over Non-primitive Dedekind Prime Rings

Resumen Técnico: Módulos Bassianos Generalizados sobre Anillos Primos de Dedekind No Primitivos

Planteamiento del Problema
El artículo investiga las propiedades estructurales de los módulos bassianos generalizados sobre una clase específica de anillos: los anillos primos de Dedekind no primitivos. Se define que un módulo derecho $A$, $M$, es bassiano generalizado si la existencia de un homomorfismo inyectivo (monomorfismo) $M \to M/N$ para algún submódulo $N$ implica que $N$ es un sumando directo de $M$. Este concepto generaliza la noción de módulos bassianos, donde $M$ no es isomorfo a ninguna imagen homomorfa propia (equivalentemente, $N=0$ siempre que tal monomorfismo exista).

Aunque los módulos bassianos sobre anillos primos de Dedekind no primitivos fueron caracterizados previamente (específicamente los singulares en [22]), la clasificación de los módulos bassianos generalizados en este contexto permanecía como un área de estudio abierta. El objetivo del artículo es describir la estructura de los módulos singulares bassianos generalizados sobre estos anillos, trazando paralelismos con las descripciones conocidas de los grupos abelianos bassianos y bassianos generalizados.

Metodología
El estudio emplea técnicas estándar de la teoría de módulos y de la teoría de anillos, centrándose específicamente en la estructura de los módulos sobre anillos primos noetherianos hereditarios (HNP), de los cuales los anillos primos de Dedekind no primitivos son un subconjunto. La metodología se basa en:

1. Teoría de la Descomposición: Utilizando la descomposición primaria de los módulos singulares sobre anillos primos de Dedekind. Los módulos singulares $M$ se descomponen en una suma directa de componentes primarios $M(P_i)$, donde $P_i$ son ideales invertibles máximos.
2. Análisis Estructural de Módulos Uniseriales: Aprovechando los resultados conocidos (por ejemplo, de [22]) respecto a los módulos singulares indecomponibles inyectivos, los cuales están caracterizados como módulos uniseriales, no cíclicos, con estructuras de cadena específicas de submódulos.
3. Reducción a Componentes: Estableciendo que un módulo es bassiano generalizado si y solo si sus componentes primarios son bassianos generalizados (Proposición 3.3).
4. Argumentos de Contradicción: Utilizando propiedades de extensiones esenciales, submódulos singulares y dimensiones de Goldie para demostrar que ciertas sumas directas infinitas o estructuras no reducidas no pueden satisfacer la condición de bassiano generalizado.

Contribuciones Clave y Resultados
El resultado central del artículo es el Teorema 1.2, el cual proporciona una caracterización completa de los módulos singulares bassianos generalizados sobre anillos primos de Dedekind no primitivos.

Teorema 1.2: Sea $A$ un anillo primo de Dedekind no primitivo y $M$ un módulo derecho singular de $A$ con componentes primarios $M_i$ ($i \in I$). Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. $M$ es un módulo bassiano generalizado.
2. $M$ es una suma directa de un módulo bassiano y un módulo semisimple.
3. Cada componente primario $M_i$ de $M$ es una suma directa de un módulo noetheriano y un módulo semisimple.

Resultados de Apoyo:

• Proposición 3.6: Demuestra que si $M$ es un módulo singular bassiano generalizado, cada componente primario $M_i$ debe descomponerse en una parte noetheriana y una parte semisimple. Esto se logra analizando las longitudes de los sumandos uniseriales cíclicos y mostrando que conjuntos infinitos de sumandos isomorfos de longitud $\ge 2$ conducen a contradicciones con la propiedad de bassiano generalizado.
• Proposición 3.3: Establece que un módulo singular es bassiano generalizado si y solo si todos sus componentes primarios son bassianos generalizados. Además, aclara que para tales módulos, la existencia de un anulador no nulo implica una descomposición en módulos cíclicos uniseriales noetherianos de longitud acotada.
• Relación con los Módulos Bassianos: El artículo confirma que, si bien todo módulo bassiano es bassiano generalizado, la inversa no es cierta (por ejemplo, las sumas directas de infinitos módulos simples isomorfos son bassianas generalizadas pero no bassianas). Sin embargo, bajo la condición de que los componentes homogéneos del socle sean finamente generados, un módulo bassiano generalizado se convierte en bassiano.

Significancia y Alcance
El autor afirma que el Teorema 1.2 es su resultado principal, sirviendo como la descripción definitiva de los módulos singulares bassianos generalizados sobre anillos primos de Dedekind no primitivos. La significancia radica en extender la clasificación de los módulos bassianos (previamente conocidos para estos anillos) a la clase más amplia de los módulos bassianos generalizados.

El autor señala que los resultados dependen fuertemente de las propiedades específicas de los anillos primos de Dedekind no primitivos, que son anillos HNP acotados. El artículo concluye con una pregunta abierta (Observación 4.6), preguntando si el Teorema 1.2 puede extenderse a la clase más amplia de anillos HNP (anillos primos noetherianos hereditarios) que no son necesariamente anillos primos de Dedekind. El artículo no resuelve esta extensión, manteniendo un alcance modesto limitado a la clase de anillos especificada.

Notas Contextuales

• El trabajo se basa en descripciones previas de grupos abelianos bassianos ([2]) y grupos abelianos bassianos generalizados ([3], [6], [7]).
• Este estudio cuenta con el apoyo de una subvención de la Fundación de Ciencia de Rusia.
• El artículo se adhiere estrictamente a las definiciones de anillos asociativos con unidad y módulos unitarios, utilizando la terminología estándar de las referencias [8]–[11] y [13].