Uncertainty Quantification in Calibration and Simulation of Thermo-Chemical Curing of Epoxy Resins

Resumen Técnico: Cuantificación de la Incertidumbre en la Calibración y Simulación del Curado Termoquímico de Resinas Epóxicas

Planteamiento del Problema
El curado de resinas epóxicas es un proceso termoquímico-mecánico complejo, esencial para la fabricación de materiales compuestos de alto rendimiento, particularmente en la industria de la aviación. El modelado preciso de este proceso requiere relaciones constitutivas para la temperatura de transición vítrea, la cinética de curado, la expansión térmica, la contracción química, la capacidad calorífica específica y la conductividad térmica. Estos modelos dependen de numerosos parámetros de material que deben identificarse mediante un procedimiento de calibración de múltiples pasos utilizando datos experimentales (p. ej., DSC, TMDSC, mediciones de densidad).

Un desafío crítico identificado en este trabajo es la propagación de incertidumbres. Estudios previos, como los de Leistner [4] y las extensiones en [5], establecieron las relaciones constitutivas pero omitieron la propagación de la incertidumbre. En un esquema de calibración de múltiples pasos, donde los pasos posteriores dependen de los parámetros identificados en los pasos anteriores, las incertidumbres se acumulan inevitablemente. Además, la presencia de parámetros de material inciertos hace que la respuesta del modelo determinista sea incierta, lo que potencialmente conduce a predicciones inexactas de las distribuciones de temperatura, tensiones residuales y riesgos de delaminación. El artículo aborda la necesidad de cuantificar estas incertidumbres de manera eficiente tanto durante el problema de calibración inversa como durante la simulación numérica directa de los procesos de curado.

Metodología
El estudio emplea un enfoque de calibración de modelo de múltiples pasos utilizando el método ordinario de mínimos cuadrados no lineales. Los parámetros de material se identifican secuencialmente basándose en conjuntos de datos experimentales específicos, ya que existen dependencias entre las relaciones constitutivas (p. ej., la temperatura de transición vítrea influye en la cinética de curado y la capacidad calorífica específica).

Para cuantificar las incertidumbres, los autores utilizan el método de Primer Orden y Segundo Momento (FOSM). Este enfoque basado en perturbaciones aproxima la media y la varianza de la respuesta del modelo utilizando expansiones de Taylor. El FOSM se aplica en dos fases distintas:

1. Problema Inverso (Calibración): El método propaga las incertidumbres de los parámetros identificados previamente hacia los pasos de calibración subsiguientes. La matriz de covarianza del paso actual se actualiza para incluir las contribuciones tanto del ruido de medición como de la incertidumbre propagada de los parámetros de entrada.
2. Problema Directo (Simulación): El método cuantifica la incertidumbre en la respuesta del modelo (temperatura y grado de curado) resultante de las incertidumbres de los parámetros identificados.

Los resultados del FOSM se evalúan rigurosamente frente al método de Monte Carlo (MC), que sirve como una referencia robusta. Aunque el MC es computacionalmente costoso debido a su lenta convergencia y la necesidad de miles de muestras, proporciona un punto de referencia para evaluar la precisión de la aproximación de primer orden del FOSM, particularmente en presencia de relaciones constitutivas altamente no lineales y distribuciones de parámetros no gaussianas.

Contribuciones Clave

• Propagación Sistemática de la Incertidumbre: El artículo implementa un marco integral para la propagación de incertidumbres a través de un esquema de calibración de múltiples pasos para el curado de resina epóxica, un proceso que anteriormente se trataba de forma determinista en la literatura de referencia.
• Eficiencia del FOSM en Sistemas No Lineales: El estudio demuestra que el FOSM, a pesar de ser una aproximación de primer orden, produce resultados razonables para modelos termoquímicos altamente no lineales, ofreciendo una ventaja computacional significativa sobre las simulaciones de Monte Carlo.
• Pruebas de Cobertura: Los autores realizan extensas pruebas de cobertura "in-silico" utilizando datos sintéticos para evaluar la robustez de la aproximación de la matriz de covarianza basada en el Jacobiano bajo diversas condiciones, incluyendo datos dispersos, datos densos y diferentes tipos de ruido (gaussiano, uniforme y heterocedástico).
• Análisis de Condiciones de Contorno: El estudio extiende la cuantificación de la incertidumbre para incluir condiciones de contorno inciertas (Dirichlet y mixtas), comparando su impacto en la respuesta del modelo frente a las incertidumbres de los parámetros de material.

Resultados

• Incertidumbres de Calibración: Los métodos FOSM y Monte Carlo muestran una buena concordancia para la mayoría de los parámetros de material. Sin embargo, surgen discrepancias significativas para parámetros con distribuciones claramente no gaussianas (p. ej., el factor de difusión $b_d$ en la cinética de curado), donde el FOSM tiene dificultades para capturar la forma real de la distribución.
• Impacto de la Densidad de Datos: Las pruebas de cobertura revelan que los pasos de calibración basados en datos dispersos (p. ej., solo 5 puntos de datos para la temperatura de transición vítrea) pueden conducir a una subestimación sustancial de la incertidumbre si no se contabilizan adecuadamente. Aumentar la cantidad de datos mejora la fiabilidad de las estimaciones de incertidumbre.
• Efectos de Propagación: La propagación de la incertidumbre aumenta significáneamente la varianza de los parámetros en los pasos de calibración posteriores (p. ej., parámetros de capacidad calorífica específica) en comparación con las estimaciones derivadas sin propagación. Omitir esta propagación conduce a intervalos de confianza que no cubren los valores reales de los parámetros en el nivel de confianza nominal.
• Resultados de Simulación: En las simulaciones numéricas de curado en un contenedor de aluminio, los resultados de FOSM y Monte Carlo para las temperaturas nodales y el grado de curado concuerdan estrechamente. La incertidumbre de la temperatura es relativamente pequeña, mientras que el grado de curado exhibe mayores incertidumbres, particularmente durante las transiciones rápidas de curado.
• Condiciones de Contorno: El estudio encuentra que las incertidumbres en las condiciones de contorno de Dirichlet (perfiles de temperatura prescritos) tienen un impacto mucho más significativo en la incertidumbre de la respuesta del modelo (órdenes de magnitud superiores) que las incertidumbres en las condiciones de contorno mixtas (coeficientes de convección y radiación).

Significancia y Reivindicaciones
Los autores afirman que el método FOSM es un enfoque viable, eficiente y libre de muestreo para la cuantificación de la incertidumbre en la calibración y simulación del curado de resinas epóxicas, incluso cuando se trata de relaciones constitutivas altamente no lineales. Al reconocer que el FOSM está limitado por su aproximación de primer orden y puede no resolver completamente las distribuciones complejas no gaussianas, el estudio demuestra que proporciona resultados razonables con un costo computacional significativamente menor que los métodos de Monte Carlo.

El trabajo enfatiza que la propagación de la incertidumbre no es meramente un refinamiento teórico, sino una necesidad práctica; ignorarla en esquemas de calibración de múltiples pasos puede conducir a estimaciones de parámetros poco fiables e intervalos de confianza excesivamente optimistas. Además, los resultados resaltan que controlar las incertidumbres en las condiciones de contorno (específicamente los perfiles de temperatura) es crítico para las simulaciones numéricas fiables, ya que estas incertidumbres pueden dominar el presupuesto de error más que las incertidumbres de los parámetros de material. El estudio concluye que el FOSM es una herramienta robusta para aplicaciones de ingeniería donde la eficiencia computacional es primordial, siempre que se comprendan sus limitaciones respecto a las formas de distribución y las grandes varianzas de entrada.