Dissipative Solutions to a Compressible Non-Newtonian Korteweg System with Density-Dependent Viscous Stress Tensor

Resumen Técnico: Soluciones Disipativas para un Sistema de Korteweg No Newtoniano Compresible

Planteamiento del Problema
Este artículo aborda la buena adecuación matemática de los flujos de fluidos no newtonianos compresibles donde el tensor de esfuerzo viscoso depende de la densidad. Específicamente, los autores investigan la existencia de soluciones para el sistema de Navier–Stokes–Korteweg compresible en un dominio periódico $\mathbb{T}^d$ ($d=2,3$). El sistema se caracteriza por un tensor de viscosidad dependiente de la densidad $S(Du)$ que satisface condiciones de crecimiento y monotonicidad (generalizando fluidos de tipo ley de potencia y de tipo Bingham) e incluye un término de capilaridad (esfuerzo de Korteweg) modelado mediante un gradiente de densidad logarítmico. Si bien la existencia de soluciones débiles para tales sistemas sigue siendo un problema abierto en el marco estándar de Leray–Hopf, los autores pretenden establecer la existencia de soluciones disipativas y demostrar la propiedad de unicidad débil-fuerte.

Metodología
La estrategia de la prueba se basa en la construcción de soluciones aproximadas seguidas de un paso al límite, utilizando el método de la entropía relativa.

1. Esquema de Aproximación: Los autores introducen un sistema regularizado (Ecuación 3.1) que contiene dos términos artificiales clave:

   • Una regularización parabólica $\varepsilon \Delta \varrho$ en la ecuación de continuidad para asegurar una mejor regularidad y cotas sobre la densidad.
   • Un término de viscosidad no lineal de orden superior $\nu \text{div}(|Du|^{q-2}Du)$ con $q > \max(3, 3p/2)$. Este término proporciona una mayor integrabilidad para el gradiente de velocidad $Du$, lo que permite el uso de $u$ como función de prueba y facilita la aplicación de métodos de monotonicidad para el tensor de esfuerzo no lineal $S$.

2. Existencia de Soluciones Aproximadas: Utilizando el método de Galerkin, los autores construyen soluciones débiles globales en el tiempo para el sistema regularizado. Derivan estimaciones de energía uniformes (Ecuación 3.4) que controlan la energía cinética, la energía interna, la energía de capilaridad y los términos de disipación asociados tanto al esfuerzo físico $S$ como a la viscosidad artificial.

3. Paso al Límite ($N \to \infty$): Los autores pasan al límite en la aproximación de Galerkin. Los pasos clave incluyen:

   • Utilizar el lema de Aubin–Lions–Simon para obtener la convergencia fuerte de $\sqrt{\varrho_N}$ y $\varrho_N u_N$.
   • Aplicar el método de monotonicidad (técnica de Minty-Browder) para manejar el tensor de esfuerzo no lineal $S(Du)$, demostrando que $S(Du_N)$ converge débilmente a $S(Du)$.

4. Desigualdad de Entropía Relativa: Un componente central del análisis es la derivación de una desigualdad de entropía relativa. Los autores definen un funcional de entropía relativa $E(t)$ que mide la distancia entre una solución débil $(\varrho, u)$ y un par de prueba suave $(r, v)$. Demuestran que este funcional satisface una desigualdad que involucra términos de error dependientes de los parámetros de regularización $\varepsilon$ y $\nu$.

5. Paso al Límite ($\nu, \varepsilon \to 0$): Los autores demuestran que los términos de error en la desigualdad de entropía relativa desaparecen cuando los parámetros de regularización tienden a cero. Esto se basa en las cotas uniformes derivadas de las estimaciones de energía y la estructura específica del término de capilaridad.

Contribuciones Clave y Resultados

• Existencia de Soluciones Disipativas: El resultado principal (Teorema 1.2) establece la existencia de una solución disipativa global en el tiempo para el sistema de Navier–Stokes–Korteweg no newtoniano compresible. La solución satisface la desigualdad de entropía relativa (Definición 2.4), la cual sirve como un concepto de solución débil generalizado.
• Unicidad Débil-Fuerte: Como consecuencia directa de la desigualdad de entropía relativa (Corolario 2.5), el artículo demuestra que si una solución disipativa y una solución fuerte suficientemente regular comparten los mismos datos iniciales, deben coincidir. Esto asegura que la solución disipativa es única dentro de la clase de soluciones fuertes.
• Extensión a Flujos No Newtonianos: El trabajo extiende resultados previos concernientes al vínculo entre los sistemas Euler–Korteweg y Navier–Stokes–Korteweg (previamente establecidos para flujos newtonianos con viscosidad dependiente de la densidad) al caso no newtoniano. Acomoda tensores de esfuerzo $S$ que satisfacen condiciones generales de crecimiento (por ejemplo, $|S(A)| \sim |A|^{p-1}$) y de monotonicidad, cubriendo modelos relevantes para medios granulares y avalanchas.

Significación
El artículo reclama su significación al abordar un vacío en la teoría de los fluidos no newtonianos compresibles. Dado que la teoría de existencia estándar para soluciones débiles (al estilo de Leray) sigue siendo abierta para estos sistemas, la introducción de soluciones disipativas proporciona un marco viable para analizar su comportamiento. Al incorporar efectos de capilaridad, los autores muestran que estos factores físicos son suficientes para garantizar la existencia de soluciones que satisfacen la unicidad débil-fuerte. Este resultado generaliza el trabajo de Bresch, Gisclon y Lacroix-Violet (2019) de fluidos newtonianos a no newtonianos, ofreciendo una herramienta matemática robusta para estudiar flujos compresibles viscoplásticos complejos.