Stückelberg inspired approach for avoiding singular Hamiltonians in Lorentz violating models of antisymmetric tensor field

Resumen Técnico: Enfoque inspirado en Stueckelberg para evitar Hamiltonianos singulares en modelos de campos tensoriales antisimétricos con violación de Lorentz

Planteamiento del Problema
Los modelos de violación espontánea de Lorentz (SLV) que involucran campos tensoriales antisimétricos ($B_{ab}$), particularmente aquellos que utilizan potenciales tipo Higgs, son conocidos por sufrir una patología crítica: el hamiltoniano se vuelve singular en la variedad del vacío. Como demostró el trabajo previo de Seifert [20], cuando la simetría de Lorentz se rompe espontáneamente mediante campos vectoriales o tensoriales, las ecuaciones que gobiernan la evolución temporal dejan de ser consistentes en el estado fundamental. Específicamente, la matriz de restricciones $M_{ij}$, que determina los multiplicadores de Lagrange necesarios para la evolución del hamiltoniano, se vuelve no invertible (singular). Esto hace que la teoría sea inadecuada para estudios cosmológicos y para una cuantización consistente. Si bien se han propuesto modelos "híbridos" que acoplan tensores antisimétricos a campos vectoriales para obtener hamiltonianos libres de fantasmas (ghost-free) [22], la literatura carece de una prescripción físicamente motivada para su construcción y no aborda explícitamente si estos resuelven la singularidad específica del hamiltoniano identificada por Seifert.

Metodología
Los autores emplean el análisis de restricciones de Dirac-Bergmann para investigar la estructura canónica de los modelos SLV. El núcleo de su metodología consiste en aplicar el mecanismo de Stueckelberg para restaurar la invariancia de gauge en un modelo de campo tensorial antisimétrico de rango dos ($B_{ab}$) que originalmente posee un término cinético invariante bajo gauge pero un potencial que rompe el gauge.

1. Extensión de Stueckelberg: Se introduce un campo vectorial auxiliar $C_a$ en el lagrangiano. El término del potencial $V(B_{ab})$ se modifica reemplazando $B_{ab}$ por la combinación invariante bajo gauge $(B_{ab} + \frac{1}{m}F_{ab})$, donde $F_{ab} = \partial_a C_b - \partial_b C_a$ y $m$ es un parámetro de masa. Esto restaura la simetría de gauge de la acción.
2. Formulación Hamiltoniana: Los autores realizan una descomposición $3+1$, expresando el campo tensorial antisimétrico en términos de campos vectoriales espaciales $\vec{P}$ y $\vec{Q}$. Derivan los momentos conjugados para todos los campos, identificando restricciones primarias derivadas de los momentos nulos de $\vec{P}$ y de la componente temporal $C_0$.
3. Análisis de Restricciones: Utilizando el hamiltoniano aumentado, los autores fuerzan la consistencia de las restricciones primarias bajo la evolución temporal. Este proceso genera restricciones secundarias. La preservación de estas restricciones secundarias conduce a un sistema de ecuaciones lineales que involucra a los multiplicadores de Lagrange indeterminados ($\vec{u}$), gobernados por una matriz de coeficientes $M_{ij}$.
4. Evaluación Explícita: Para determinar la invertibilidad de $M_{ij}$, los autores restringen el análisis a una configuración de vacío específica donde el tensor de fondo $b_{ab}$ toma una forma de bloque diagonal. Utilizan el paquete de computación simbólica Mathematica para evaluar los elementos de la matriz, centrándose en términos de orden cuadrático en derivadas para evitar inestabilidades de Ostrogradsky.

Contribuciones Clave y Resultados
La principal contribución de este trabajo es la demostración de que el mecanismo de Stueckelberg resuelve la singularidad del hamiltoniano en la variedad del vacío.

• Matriz de Restricciones No Singular: El análisis revela que el determinante de la matriz de restricciones $M_{ij}$ adquiere una dependencia de los gradientes ($\nabla_i C_a$) y los momentos conjugados ($\Pi_C$) del campo de Stueckelberg.
• Comportamiento en la Variedad del Vacío: Incluso cuando se evalúa en la variedad del vacío (donde el tensor de fondo $B_{ab}$ adquiere un valor constante no nulo), el determinante $\det(M_{ij})$ no se anula, siempre que los gradientes y los momentos del campo de Stueckelberg sean no nulos. En consecuencia, la matriz inversa $M^{-1}_{ij}$ existe y la evolución del hamiltoniano permanece bien definida.
• Robustez bajo Fijación de Gauge: Un hallazgo significativo es que incluso si se impone la condición de gauge $C_a = 0$ (lo que formalmente reduce el modelo a la formulación original que no es invariante bajo gauge), el hamiltoniano permanece no singular. Esto se debe a que el campo de Stueckelberg, al ser dinámico, retiene momentos conjugados y gradientes no nulos que evitan que el determinante se anule.
• Rango de la Matriz: Los autores señalan que en los modelos originales sin el campo de Stueckelberg, el rango de $M_{ij}$ está limitado por el número de invariantes del campo (como máximo dos para $B_{ab}$), lo que conduce a un rango menor que 3 y a una matriz singular. Al introducir el vector de Stueckelberg, el número de invariantes disponibles aumenta, permitiendo que $M_{ij}$ alcance un rango completo sin alterar la estructura fundamental de las segundas derivadas respecto a los campos restringidos.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar una prescripción físicamente motivada para construir hamiltonianos estables y libres de fantasmas en modelos tensoriales con violación de Lorentz. Al demostrar que el mecanismo de Stueckelberg hace que la matriz de restricciones no sea singular, los autores argumentan que tales modelos pueden cuantizarse consistentemente alrededor del valor de vacío del fondo. Esto aborda una limitación específica de análisis previos (Ref. [20]) que concluían que estas teorías estaban mal definidas en la variedad del vacío.

Los autores posicionan este trabajo como un paso fundacional hacia la cuantización de los modelos con violación de Lorentz. Sugieren que la existencia de un hamiltoniano bien definido permite ahora el cálculo de potenciales efectivos de un bucle (one-loop) y la exploración de extensiones cuánticas de estas teorías. El trabajo también se alinea con y proporciona un fundamento teórico para los recientes modelos "híbridos" propuestos por Potting [22], ofreciendo una derivación sistemática basada en la restauración de la simetría de gauge en lugar de la construcción de modelos ad hoc. Los autores declaran explícitamente que extender estos resultados para incluir términos de derivadas de orden superior sigue siendo un tema para investigaciones futuras.