Stückelberg inspired approach for avoiding singular Hamiltonians in Lorentz violating models of antisymmetric tensor field

技術要約：ローレンツ対称性が破れた反対称テンソル場のモデルにおける、特異なハミルトニアンを回避するためのシュテュッケルベルクに着想を得たアプローチ

問題提起
ヒッグス型のポテンシャルを利用する反対称テンソル場（$B_{ab}$）を含む自発的ローレンツ対称性の破れ（SLV）モデルは、重大な病理を抱えていることが知られている。すなわち、ハミルトニアンが真空多様体上で特異になるという問題である。Seifert [20] によって示されたように、ベクトル場やテンソル場によってローレンツ対称性が自発的に破れるとき、基底状態における時間の発展を制御する方程式は一貫性を失う。具体的には、ハミルトニアンの発展に必要なラグランジュ未定係数を決定する制約行列 $M_{ij}$ が非可逆（特異）となる。これにより、理論は宇宙論的研究や一貫した量子化に適さないものとなる。反対称テンソルをベクトル場と結合させる「ハイブリッド」モデル[22]が、ゴーストのないハミルトニアンを実現するために提案されているが、文献にはその構築に関する物理的に動機付けられた処方箋が欠けており、また、それらがSeifertによって特定された特定のハミルトニアンの特異性を解決するかどうかについても明示的に対処していない。

手法
著者らは、ランク2の反対称テンソル場モデル（$B_{ab}$）の正準構造を調査するために、ディラック・ベルグマンの制約解析を用いている。このモデルは、もともとゲージ不変な運動項を持つが、ゲージ対称性を破るポテンシャルを持つものである。

1. シュテュッケルベルク拡張： 補助的なベクトル場 $C_a$ がラグランジアンに導入される。ポテンシャル項 $V(B_{ab})$ は、$B_{ab}$ をゲージ不変な組み合わせ $(B_{ab} + \frac{1}{m}F_{ab})$ に置き換えることで修正される。ここで $F_{ab} = \partial_a C_b - \partial_b C_a$ であり、$m$ は質量パラメータである。これにより、作用のゲージ対称性が回復される。
2. ハミルトニアン定式化： 著者らは $3+1$ 分解を行い、反対称テンソル場を空間ベクトル場 $\vec{P}$ および $\vec{Q}$ を用いて表現する。これらすべての場の共役運動量を導出し、$\vec{P}$ と時間成分 $C_0$ の消失から生じる主要制約（primary constraints）を特定する。
3. 制約解析： 拡張されたハミルトニアンを用いて、主要制約の一致性を時間の発展の下で強制する。このプロセスにより二次制約（secondary constraints）が生成される。これらの二次制約の保存は、未定のラグランジュ未定係数（$\vec{u}$）を含む線形方程式系へと導かれ、これは係数行列 $M_{ij}$ によって支配される。
4. 明示的な評価： $M_{ij}$ の可逆性を判断するために、背景テンソル $b_{ab}$ がブロック対角形式をとる特定の真空構成に解析を限定する。著者らは、計算機代数パッケージMathematicaを用いて、オストログラドスキー不安定性を避けるために微分の2次項までの項に焦点を当てて、行列要素およびその行列式を評価する。

主要な貢献と結果
本研究の主要な貢献は、シュテュッケルベルク機構が真空多様体におけるハミルトニアンの特異性を解消することを実証した点にある。

• 非特異な制約行列： 解析の結果、制約行列 $M_{ij}$ の行列式は、シュテュッケルベルク場の勾配（$\nabla_i C_a$）および共役運動量（$\Pi_C$）への依存性を獲得することが明らかになった。
• 真空多様体の振る舞い： 背景テンソル $B_{ab}$ が定数の非ゼロ値をとる真空多様体上で評価した場合でも、勾配および運動量が非ゼロであれば、行列式 $\det(M_{ij})$ は消失しない。したがって、$M^{-1}_{ij}$ は存在し、ハミルトニアンの発展は適切に定義される。
• ゲージ固定下の頑健性： ゲージ条件 $C_a = 0$ を課した場合（これは形式的に、元のゲージ不変でないモデルへとモデルを還元することになるが）、ハミルトニアンは依然として非特異であるという点は重要な発見である。これは、シュテュッケルベルク場が動的な場であるため、非ゼロの共役運動量と勾配を保持し続け、行列式が消失するのを防ぐためである。
• 行列のランク： 著者らは、シュテュッケルベルク場を持たない元のモデルでは、$M_{ij}$ のランクは場不変式の数（$B_{ab}$ に対して最大2つ）によって制限され、ランクが3未満となり特異な行列になることを指摘している。シュテュッケルベルク・ベクトルを導入することで、利用可能な不変数の数が増加し、制約される場に対する二階微分の基本構造を変えることなく、$M_{ij}$ がフルランクを達成することが可能になる。

意義と主張
本論文は、ローレンツ対称性が破れたテンソルモデルにおいて、安定でゴーストのないハミルトニアンを構築するための、物理的に動機付けられた処方箋を提供すると主張している。シュテュッケルベルク機構が制約行列を非特異にすることを示すことで、著者らは、このようなモデルが背景真空値の周囲で一貫して量子化できると論じている。これは、これらの理論が真空多様体上で定義不可能であると結論付けた先行研究（文献 [20]）の特定の限界に対処するものである。

著者らは、本研究をローレンツ対称性が破れたモデルの量子化に向けた基礎的なステップとして位置付けている。ウェル定義されたハミルトニアンが存在することが、今や1ループ有効ポテンタルの計算や、これらの理論の量子的な拡張の探索を可能にすると示唆している。本研究は、Potting [22] によって提案された最近の「ハイブリッド」モデルとも整合しており、アドホックなモデル構築ではなく、ゲージ回復に基づく体系的な導出を提供している。著者らは、高次の微分項を含めるように本結果を拡張することは、今後の調査課題であると明記している。