Exact cospectrality probabilities for uniform random matrices

Resumen Técnico: Probabilidades de Cospectralidad Exactas para Matrices Aleatorias Uniformes

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el problema de la caracterización espectral de matrices discretas, investigando específicamente la probabilidad de que una matriz simétrica aleatoria con entradas en un conjunto discreto (como el anillo de enteros $\mathcal{O}_K$ de un cuerpo de números algebraicos $K$) permanezca dentro de dicho conjunto tras ser conjugada por una matriz ortogonal $Q$.

Si bien el caso "genérico" sugiere que un grafo o matriz aleatoria está caracterizada unívocamente por su espectro (conjetura de Haemers), la existencia de matrices ortogonales no triviales $Q$ tales que $Q^\top X Q$ comparte el mismo espectro que $X$ (cospectralidad) complica esto. La cuestión central es: Dada una matriz ortogonal fija $Q$ (potencialmente con entradas algebraicas) y una matriz simétrica aleatoria $X$ con entradas distribuidas uniformemente en $\mathcal{O}_K$, ¿cuál es la probabilidad exacta de que la conjugada $Q^\top X Q$ también tenga entradas en $\mathcal{O}_K$?

Trabajos previos, como los de Wang y Zhao [33], establecieron cotas superiores asintóticas para matrices ortogonales racionales con denominadores acotados conforme la dimensión $n \to \infty$. Este artículo tiene como objetivo proporcionar fórmulas exactas y no asintóticas para esta probabilidad para dimensiones fijas y cuerpos de números algebraicos arbitrarios, yendo más allá del régimen asintótico.

Metodología
El autor emplea una combinación de teoría de números algebraicos, teoría de ideales en dominios de Dedekind y argumentos de invarianza probabilística.

1. Marco Algebraico: El estudio se establece dentro de un cuerpo de números algebraicos $K$ con su anillo de enteros $\mathcal{O}_K$. El "nivel" $\ell$ de una matriz $Q$ se define como el menor entero tal que $\ell Q \in \mathcal{O}_K^{n \times n}$. El análisis utiliza la forma normal de Smith e ideales de Smith ($\mathfrak{d}_i$) asociados con la matriz $\ell Q$.
2. Invarianza Probabilística: La demostración se basa en la invarianza por traslación de la distribución uniforme sobre el anillo cociente $\mathcal{O}_K / \ell^2 \mathcal{O}_K$. Al aprovechar el hecho de que la ley de una matriz simétrica aleatoria $X$ es invariante bajo la traslación por matrices simétricas deterministas, el autor demuestra que la probabilidad de que $Q^\top X Q$ sea integral depende únicamente de la forma normal de Smith de $\ell Q$, lo que permite reemplazar eficazmente a $Q$ por una matriz diagonal en el cálculo de la probabilidad.
3. Reducción Teórica de Ideales: El problema se reduce al conteo de soluciones de congruencias que involucran los ideales de Smith. La ortogonalidad de $Q$ impone restricciones estructurales específicas sobre estos ideales (específicamente, relaciones entre $\mathfrak{d}_i$ y $\mathfrak{d}_{n-i+1}$), lo que simplifica la fórmula general derivada para matrices arbitrarias.

Contribuciones Clave y Resultados

• Fórmula de Probabilidad Exacta (Teorema 1.3): El resultado principal es una fórmula exacta para la probabilidad $\mathbb{P}(Q^\top X Q \in \mathcal{O}_K^{n \times n})$. Para una matriz simétrica aleatoria $X$ con entradas distribuidas uniformemente módulo $\ell^2$, la probabilidad viene dada por:
  $$\mathbb{P}(Q^\top X Q \in \mathcal{O}_K^{n \times n}) = \prod_{i=1}^{\lfloor n/2 \rfloor} \prod_{j=i}^{n-i} \frac{\mathrm{N}_{\mathcal{O}_K}(\mathfrak{d}_i \mathfrak{d}_j)}{\mathrm{N}_{\mathcal{O}_K}(\ell^2 \mathcal{O}_K)}$$
  donde $\mathfrak{d}_i$ son los ideales de Smith de $\ell Q$ y $\mathrm{N}$ denota la norma del ideal. Esta fórmula es válida para cualquier cuerpo de números algebraicos y se aplica tanto a conjuntos simétricos como hermíticos.

• Cospectralidad Racional en Dimensiones Bajas (Teoremas 1.6 y 1.7): El artículo deriva fórmulas explícitas para el número esperado de matrices ortogonales racionales con un denominador dado $\ell$ que preservan la integralidad para las dimensiones $n=2$ y $n=3$:

  • Dimensión 2: El número esperado es no nulo solo si los factores primos de $\ell$ son todos congruentes con $1 \pmod 4$. La esperanza es $\mathbb{E}[N_2(\ell)] = 2^{r+3}/\ell^2$, donde $r$ es el número de factores primos distintos.
  • Dimensión 3: El número esperado es no nulo solo si $\ell$ es impar. La esperanza es $\mathbb{E}[N_3(\ell)] = \frac{48}{\ell^2} \prod_{p|\ell} (1 + 1/p)$.

• No Monotonicidad: Un hallazgo significativo es que la dependencia del número esperado de conjugaciones que preservan la integralidad respecto al denominador $\ell$ es no monótona. Aunque el factor $1/\ell^2$ sugiere un decaimiento general, las fluctuaciones numéricas de los factores primos (específicamente el número y tamaño de los factores primos) causan incrementos locales en la probabilidad.

• Cotas sobre la Cospectralidad Racional (Corolario 1.8): Utilizando las esperanzas exactas, el autor establece que para $n \le 3$, la probabilidad de que una matriz entera aleatoria sea cospectral a otra mediante una matriz ortogonal racional (con un denominador acotado pero arbitrariamente grande) es estrictamente menor que 1.

  • Para $n=2$, el límite está acotado aproximadamente por $0.114$.
  • Para $n=3$, el límite está acotado aproximadamente por $0.296$.
    Esto proporciona una variante rigurosa y no asintótica de la conjetura de Haemers para dimensiones bajas.

Significado y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar las primeras fórmulas exactas y no asintóticas para la probabilidad de preservación de la integralidad bajo conjugación ortogonal, vinculando esta probabilidad directamente con los ideales de Smith de la matriz conjugante.

El autor destaca que estos resultados revelan un nuevo fenómeno en entornos de baja dimensión: la dependencia no monótona del denominador debido a las fluctuaciones aritméticas. Esto contrasta con las tendencias asintóticas más simples donde la probabilidad típicamente decae de forma monótona.

El trabajo conecta el estudio probabilístico de matrices aleatorias con condiciones suficientes deterministas para la caracterización espectral (haciendo referencia al trabajo de Qiu, Wang y Zhang [23] y Wang y Yu [32]), sugiriendo que las formas normales de Smith desempeñan un papel fundamental en determinar si una matriz está caracterizada unívocamente por su espectro. El artículo concluye proponiendo una conjetura (Conjetura 1.9) de que esta desigualdad estricta (probabilidad $< 1$) se cumple para todas las dimensiones fijas $n$, aunque probar esto para un $n$ general sigue siendo un problema abierto y desafiante.