Generation of Multivariate Discrete Data with Generalized Poisson, Negative Binomial and Binomial Marginal Distributions

Resumen Técnico: Generación de Datos Discretos Multivariados con Distribuciones Marginales de Poisson Generalizada, Binomial Negativa y Binomial

Autores: Chak Kwong (Tommy) Cheng y Hakan Demirtas (Universidad de Illinois en Chicago).

1. El Problema

En campos como la epidemiología, la genómica y las ciencias sociales, es común trabajar con datos discretos multivariados (conteos). Para evaluar la robustez de modelos estadísticos o simular escenarios del mundo real, los investigadores necesitan herramientas que permitan generar datos sintéticos que no solo respeten las distribuciones individuales de cada variable (marginales), sino que también mantengan una estructura de correlación específica entre ellas.

Los métodos existentes presentan limitaciones críticas:

• Algunos se limitan a un solo tipo de distribución (falta de flexibilidad).
• Otros solo permiten correlaciones positivas o estructuras de intercambio (exchangeable).
• Algunos son computacionalmente ineficientes o están restringidos a correlaciones bajas y medias pequeñas.

2. Metodología Propuesta

El estudio propone un algoritmo basado en el marco de trabajo de Demirtas (2006) para datos ordinales, extendiéndolo a tres de las distribuciones de conteo más importantes: Poisson Generalizada (GPD), Binomial Negativa (NB) y Binomial (B).

El núcleo del algoritmo es un enfoque de "colapso y reconstrucción" mediante variables latentes binarias:

1. Colapso a Binario: Cada variable discreta se transforma en una variable binaria mediante un umbral (usualmente la mediana), de modo que la probabilidad de éxito esté cerca de 0.5 (punto óptimo para la simulación).
2. Ajuste de Correlación (Iteración): Dado que la correlación de las variables discretas originales ($\delta^*$) no es la misma que la de sus versiones binarias ($\delta^b$), el algoritmo utiliza un procedimiento iterativo. Se simula una gran cantidad de datos binarios y se ajusta la correlación intermedia de las variables normales latentes hasta que la correlación de los datos binarios resultantes coincida con la deseada tras la reconstrucción.
3. Garantía de Positividad: Se utiliza la función nearPD para asegurar que la matriz de correlación resultante sea definida positiva.
4. Reconstrucción (Descolapso): Una vez generadas las variables binarias correlacionadas, se mapean de nuevo a la escala discreta original utilizando las funciones de masa de probabilidad (PMF) de las distribuciones marginales especificadas.

3. Contribuciones Clave

• Unificación: Proporciona un marco único para generar tres familias de distribuciones distintas bajo un mismo procedimiento.
• Flexibilidad de Correlación: A diferencia de métodos previos, permite tanto correlaciones positivas como negativas y diversas estructuras de dependencia (Toeplitz, exchangeable, etc.).
• Independencia de la Distribución Conjunta: El método solo requiere especificar las distribuciones marginales y una matriz de correlación factible, sin necesidad de definir un modelo de distribución conjunta complejo.
• Herramienta Computacional: La implementación de un paquete de R llamado MultiDiscreteRNG que automatiza todo el proceso, incluyendo la validación de parámetros.

4. Resultados

Los autores validaron el método mediante estudios de simulación y aplicaciones con datos reales:

• Simulaciones: Se probaron escenarios con muestras pequeñas ($N=200$) y grandes ($N=2000$). Los resultados mostraron que el sesgo relativo (RB) fue generalmente inferior al 5% y las tasas de cobertura (CR) se mantuvieron cerca del nivel nominal del 95%, demostrando alta precisión y exactitud.
• Datos Reales: Se aplicó con éxito a tres conjuntos de datos:
  1. National Medical Expenditure Survey (NMES): Datos de salud en EE. UU.
  2. Australian Health Survey (AHS): Uso de servicios de salud en Australia.
  3. Los Angeles Crime Data: Frecuencias de delitos en Los Ángeles.
     En todos los casos, el método logró replicar con éxito los parámetros marginales y las correlaciones observadas en los datos originales.

5. Significancia y Limitaciones

Significancia: Este trabajo es fundamental para la ciencia de datos y la estadística aplicada, ya que permite a los investigadores crear "gemelos digitales" de datos de conteo complejos para probar la sensibilidad de sus modelos y la consistencia de sus estimadores antes de aplicarlos a datos reales.

Limitaciones: El método tiene restricciones teóricas; las correlaciones especificadas deben caer dentro de los límites de Fréchet-Hoeffding para las variables binarias resultantes. Si la correlación deseada es extremadamente alta y las distribuciones marginales son muy asimétricas, el algoritmo puede no ser aplicable.