Resumen Técnico: Existencia y No Existencia de Curvas Elípticas Racionales con Subgrupos de Torsión Prescritos sobre Campos Cuadráticos

1. El Problema

El estudio central de este trabajo se sitúa en la clasificación de los subgrupos de torsión de las curvas elípticas definidas sobre $\mathbb{Q}$ cuando se consideran sus puntos racionales sobre extensiones de números, específicamente campos cuadráticos $K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$.

Aunque el teorema de Mazur clasifica los subgrupos de torsión para $K = \mathbb{Q}$, y existen clasificaciones para campos cuadráticos generales, el problema de determinar exactamente qué campos cuadráticos permiten la realización de ciertos subgrupos de torsión (como $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$) sigue siendo una cuestión abierta y compleja. El autor busca identificar familias de primos $p$ para los cuales tales estructuras de torsión son imposibles de alcanzar, o bien, donde existen infinitas curvas que las poseen.

2. Metodología

El autor emplea una combinación de métodos algebraicos, teóricos y computacionales:

• Descenso de 2 (2-descent): Se utiliza para calcular el rango de las torsiones de las curvas modulares $X_1(2, 10)$ y $X_1(2, 12)$. Dado que estas curvas modulares tienen género 1, son ellas mismas curvas elípticas. El autor analiza sus twists cuadráticos para determinar si tienen puntos de orden infinito.
• Teoría de Curvas Modulares: El problema se reduce al estudio de puntos cuadráticos en las curvas modulares $X_1(2, 10)$ y $X_1(2, 12)$. Si el rango de un twist cuadrático es cero, no existen curvas elípticas con la torsión deseada sobre ese campo.
• Conjetura de la Paridad: Para los casos donde el rango es positivo, el autor utiliza la conjetura de la paridad (relacionada con la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer) para demostrar la existencia de infinitas curvas elípticas con la torsión prescrita, basándose en la finitud de la parte 2-primaria del grupo de Tate-Shafarevich ($\text{Ш}$).
• Teoría de Galois y Representaciones: Se aplican lemas sobre la acción de los grupos de Galois en los puntos de torsión para eliminar posibles estructuras de torsión en extensiones abelianas (como extensiones cíclotómicas y extensiones de Kummer).
• Computación con SageMath: Se realizan cálculos exhaustivos para verificar rangos y verificar la existencia de puntos en casos específicos.

3. Contribuciones Clave y Resultados

A. Imposibilidad de Torsión (Resultados de No Existencia)

El autor establece condiciones precisas sobre los primos $p$ que impiden la existencia de ciertas torsiones sobre $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-p})$:

• Teorema 1.2: Si $p \equiv 3, 7 \pmod{20}$, no existe una curva elíptica $E/\mathbb{Q}$ tal que $E(\mathbb{Q}(\sqrt{-p}))_{\text{tors}} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$.
• Teorema 1.3: Si $p \equiv 11 \pmod{24}$, no existe una curva $E/\mathbb{Q}$ tal que $E(\mathbb{Q}(\sqrt{-p}))_{\text{tors}} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$.
• Corolario 1.4: Para $p \equiv 83, 107 \pmod{120}$, se eliminan ambas estructuras ($\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$), reduciendo la torsión posible a los 15 grupos de Mazur.

B. Existencia Condicional

Bajo la conjetura de la paridad, el autor demuestra que para ciertas familias de primos, existen infinitas curvas elípticas con la torsión deseada:

• Conjetura 1.5 (Probada condicionalmente): Si $p \equiv 11, 19 \pmod{20}$, existen infinitas curvas con torsión $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$.
• Conjetura 1.6 (Probada condicionalmente): Si $p \equiv -1 \pmod{24}$, existen infinitas curvas con torsión $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$.

C. Extensiones de Kummer y $\mathbb{Z}_p$-extensiones

El autor extiende estos resultados a campos más grandes:

• Clasificación en extensiones de Kummer: Refina la clasificación de la torsión sobre extensiones de Kummer de campos cíclotómicos.
• Teoremas 5.4 y 5.5: Demuestra que en el compuesto de todas las $\mathbb{Z}_p$-extensiones de un campo $K$ (para $p > 5$), la torsión de una curva elíptica $E/\mathbb{Q}$ es igual a la torsión sobre el campo base $K$ ($E(K_{\mathbb{Z}_p})_{\text{tors}} = E(K)_{\text{tors}}$). Esto implica que la torsión no "crece" en estas extensiones infinitas.

4. Significancia

Este trabajo es significativo por varias razones:

1. Precisión en la Clasificación: Proporciona una respuesta detallada a la pregunta de qué campos cuadráticos admiten qué estructuras de torsión, un problema que la literatura previa no había resuelto completamente para curvas definidas sobre $\mathbb{Q}$.
2. Unificación de Resultados: Conecta la teoría de curvas modulares, el descenso de 2 y la teoría de extensiones de Galois para resolver problemas de torsión en extensiones abelianas infinitas.
3. Avance en la Teoría de Extensiones: Los resultados sobre $\mathbb{Z}_p$-extensiones y extensiones de Kummer ofrecen nuevas herramientas para entender cómo se comportan los puntos racionales en extensiones de números de grado infinito, lo cual es un área de frontera en la aritmética de curvas elípticas.