Klein coverings over hyperelliptic genus 3 curves

1. Planteamiento del Problema

El artículo aborda el estudio de la inyectividad del mapa de Prym para recubrimientos de Klein (recubrimientos galoisianos étalos con grupo de grupo de deck $V_4 \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$) sobre curvas de género 3.

• Contexto: Se considera una curva hiperelíptica suave $H$ de género 3 sobre $\mathbb{C}$. Un recubrimiento de Klein $f: \tilde{C} \to H$ está determinado por un subgrupo de 2-torsión $\langle \eta, \xi \rangle \subset J_H[2]$ isomorfo a $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$.
• Objeto de estudio: La variedad de Prym $P(f)$, definida como la componente conexa de la identidad del núcleo del mapa de norma $Nm_f: J\tilde{C} \to JH$. En este caso, $P(f)$ es una variedad abeliana polarizada de dimensión 6.
• La pregunta central: ¿Es el mapa de Prym que asigna a cada recubrimiento su variedad de Prym polarizada inyectivo? Específicamente, se busca caracterizar el espacio de móduli de estos recubrimientos y demostrar la inyectividad en cada componente irreducible.

2. Metodología

Los autores emplean una combinación de teoría de curvas hiperelípticas, descomposición isotypical de Jacobianas y geometría de variedades abelianas polarizadas.

A. Clasificación de los Recubrimientos

El espacio de móduli $R_{3}^{V_4}$ de recubrimientos de Klein sobre curvas hiperelípticas de género 3 se descompone en cuatro componentes irreducibles, clasificadas según si el subgrupo generador es isotrópico o no isotrópico respecto al emparejamiento de Weil, y según la configuración de los puntos de Weierstrass:

1. Tipo I.1 (No isotrópico): Generado por diferencias de 3 puntos de Weierstrass ($\eta = w_1-w_2, \xi = w_1-w_3$). Aquí $\tilde{C}$ es también hiperelíptica.
2. Tipo I.2 (No isotrópico): Generado por una diferencia de dos puntos y una combinación de cuatro ($\eta = w_1-w_2, \xi = w_1-w_3+w_4-w_5$).
3. Tipo II.1 (Isotrópico): Generado por sumas de diferencias de pares ($\eta = w_1-w_2+w_3-w_4, \xi = w_1-w_2+w_5-w_6$).
4. Tipo II.2 (Isotrópico): Generado por dos diferencias disjuntas ($\eta = w_1-w_2, \xi = w_3-w_4$).

B. Estrategia de Prueba de Inyectividad

Para demostrar la inyectividad del mapa de Prym en cada componente, los autores siguen un proceso de reconstrucción:

1. Identificación del Grupo de Automorfismos: A partir de la variedad de Prym polarizada $(P, \Xi)$, se identifica un grupo de automorfismos $B \cong \mathbb{Z}_2^4$ que actúa sobre $P$. Este grupo incluye involuciones "genuinas" (inducidas por automorfismos de $\tilde{C}$) y "artificiales".
2. Descomposición Isotypical: Se utiliza la acción de este grupo para descomponer $P$ en subvariedades abelianas invariantes. La clave reside en que el tipo de polarización restringida y la dimensión de los lugares fijos de las involuciones permiten distinguir las componentes.
3. Reconstrucción de las Curvas:
   • Se identifican Jacobianas de curvas intermedias (como $C_\eta, C_\xi$) dentro de la descomposición de $P$.
   • Se utilizan teoremas de Torelli fuertes para recuperar las curvas a partir de sus Jacobianas.
   • Se reconstruye la curva superior $\tilde{C}$ como un producto fibrado (fibered product) de curvas intermedias sobre una base común (generalmente una curva de género 2 o 3).
4. Análisis de Tipos de Polarización: Se demuestra que los tipos de polarización $(1,1,1,2,2,4)$ para el caso isotrópico y $(1,1,1,1,4,4)$ para el no isotrópico son invariantes distintivos que separan las imágenes de las diferentes componentes.

3. Contribuciones Clave y Resultados Principales

Teorema Principal (Teorema 0.1)

Los autores demuestran que los mapas de Prym son inyectivos en cada componente irreducible del espacio de móduli de curvas hiperelípticas de género 3:

• $P_{3}^{iso}: R_{3}^{iso} \to \mathcal{A}_{6}^{(1,1,1,2,2,4)}$ es inyectivo.
• $P_{3}^{ni}: R_{3}^{ni} \to \mathcal{A}_{6}^{(1,1,1,1,4,4)}$ es inyectivo.

La inyectividad se mantiene en todo el espacio $R_{3}^{V_4}$ porque las dimensiones de las componentes en la descomposición isotypical de la variedad de Prym dependen del tipo de recubrimiento, haciendo que las imágenes de las componentes sean disjuntas.

Resultados Específicos por Caso

• Caso I.2 (No isotrópico): Se demuestra que la variedad de Prym determina un grupo de involuciones $\mathbb{Z}_2^4$. Se identifican curvas de género 2 y 4 dentro de la descomposición, permitiendo reconstruir $\tilde{C}$ como un producto fibrado sobre una curva de género 2.
• Casos II.1 y II.2 (Isotrópicos): Se utilizan propiedades de curvas bi-elípticas y la estructura de los puntos fijos de las involuciones para distinguir las Jacobianas de las curvas intermedias. En el caso II.2, se identifica una curva elíptica específica de exponente 4 que actúa como "ancla" para la reconstrucción.
• Caso I.1: Se retoma un resultado previo (donde $\tilde{C}$ es hiperelíptica) y se confirma la inyectividad bajo el mismo marco unificado.

Aplicación a Curvas de Género 3 Generales (Teorema 0.2 y 6.2)

Extendiendo los resultados más allá de las curvas hiperelípticas, los autores prueban que los mapas de Prym para cualquier curva de género 3 son genéricamente finitos.

• Específicamente, el mapa tiene grado 1 (es inyectivo) sobre las imágenes de los recubrimientos de curvas hiperelípticas de los tipos I.2, II.1 y II.2.
• Esto sugiere fuertemente que los mapas de Prym podrían ser inyectivos en todo el espacio de móduli de curvas de género 3, aunque la inyectividad global para curvas no hiperelípticas generales sigue abierta como una pregunta (Pregunta 6.3).

4. Significado e Impacto

1. Avance en la Teoría de Mapas de Prym: Este trabajo es una contribución significativa a la comprensión de la inyectividad de los mapas de Prym para recubrimientos no cíclicos (grupos de Klein) en géneros bajos. Mientras que la inyectividad para recubrimientos dobles ramificados es un resultado conocido, el caso de recubrimientos étalos con grupo $V_4$ es mucho más complejo debido a la estructura de la variedad de Prym de dimensión 6.
2. Caracterización de Espacios de Móduli: Proporciona una descripción completa de la estructura de los espacios de móduli de recubrimientos de Klein sobre curvas hiperelípticas, demostrando su descomposición en cuatro componentes irreducibles y calculando sus grados de proyección.
3. Métodos de Reconstrucción: Introduce técnicas robustas para reconstruir curvas y sus recubrimientos a partir de la estructura de automorfismos y polarizaciones de sus variedades de Prym, utilizando productos fibrados y descomposiciones isotypical.
4. Conexión con Geometría Algebraica Superior: El uso de la descomposición de la variedad de Prym en componentes de diferentes tipos de polarización ofrece una herramienta poderosa para distinguir variedades abelianas que, de otro modo, podrían parecer isomorfas.

En resumen, el artículo establece un marco riguroso que confirma la inyectividad del mapa de Prym para recubrimientos de Klein sobre curvas hiperelípticas de género 3, sentando las bases para futuras investigaciones sobre la inyectividad global en el espacio de móduli de curvas de género 3.