Projection depth for functional data: Practical issues, computation and applications

1. El Problema

El análisis estadístico de datos funcionales (curvas o funciones observadas en un espacio de Hilbert infinito-dimensional) presenta desafíos únicos debido a sus patrones complejos y su alta dimensionalidad. Las herramientas estadísticas tradicionales a menudo fallan al capturar características de forma (shape features) más allá de las desviaciones verticales puntuales.

La profundidad estadística es una herramienta clave para ordenar datos funcionales, midiendo la centralidad o la aleatoriedad (outlyingness). Sin embargo, la extensión de la profundidad de proyección (un concepto robusto en espacios euclídeos) a espacios de dimensión infinita es problemática:

• La profundidad de proyección clásica puede volverse degenerada (infinita o no definida) en espacios de dimensión infinita.
• Los métodos existentes a menudo no son sensibles a las diferencias de forma cuando los datos "atípicos" (outliers) se encuentran en la región central de la nube de datos pero tienen formas distintas.

2. Metodología

El artículo se centra en la Profundidad de Proyección Regularizada (RPD, por sus siglas en inglés), propuesta teóricamente en un trabajo previo de los mismos autores (Bočinec et al., 2026), y explora su implementación práctica.

A. Definición y Regularización

La RPD se basa en la idea de buscar la dirección de proyección que maximiza la aleatoriedad de un punto $x$. Para evitar la degeneración en dimensión infinita, se introduce un parámetro de regularización $\beta$:

• Se define un conjunto de direcciones válidas $V_\beta$ donde la desviación absoluta mediana (MAD) de las proyecciones es mayor o igual a $\beta$.
• La profundidad se calcula como el ínfimo de $(1 + \text{aleatoriedad})^{-1}$ sobre este conjunto restringido.

B. Selección del Parámetro de Ajuste (Tuning Parameter)

Una contribución práctica clave es la propuesta de seleccionar $\beta$ no como una constante fija, sino como un cuantil ($u$) de la distribución de las MADs de las proyecciones aleatorias.

• Adaptabilidad: Al elegir $\beta(u)$ como el cuantil $u$ de las MADs, el método se adapta a la estructura de los datos.
• Control de Dimensión: Un valor de $u$ pequeño implica una regularización más fuerte (se consideran menos direcciones, enfocándose en las de mayor variabilidad), lo que ayuda a resaltar características de forma. Un $u$ mayor suaviza la profundidad.

C. Algoritmo de Cálculo (Aproximación Estocástica)

Dado que calcular el ínfimo sobre un conjunto infinito de direcciones es computacionalmente imposible, los autores proponen un algoritmo de aproximación estocástica:

1. Se muestrea un conjunto finito de direcciones aleatorias.
2. Se estima el parámetro $\beta$ basado en estas muestras.
3. Se evalúa la profundidad sobre un subconjunto de direcciones que cumplen la condición de regularización.

• Se demuestra teóricamente que esta aproximación converge casi seguramente a la profundidad teórica a medida que aumenta el número de direcciones.
• Se implementa un paquete en R (RPD) utilizando C++ para eficiencia.

3. Contribuciones Clave

1. Justificación Teórica de la Adaptabilidad: Se demuestra que elegir el parámetro de regularización como un cuantil de los datos preserva las propiedades teóricas deseables de la RPD, como la no degeneración, la consistencia y un punto de ruptura (breakdown point) del 50% para la mediana inducida.
2. Algoritmo Eficiente: Desarrollo de un método de aproximación estocástica viable para calcular la RPD en datos funcionales discretizados, resolviendo el problema de la optimización en espacios de alta dimensión.
3. Análisis Comparativo Exhaustivo: Evaluación de la RPD frente a otras profundidades funcionales populares (Profundidad de Media Banda Modificada - MBD, Profundidad de Media Integrada - FD, Profundidad de Media Esférica - SD, etc.) en cuatro tareas estadísticas críticas.

4. Resultados Principales

Los estudios numéricos muestran que la RPD supera consistentemente a los métodos competidores, especialmente en escenarios donde las diferencias de forma son cruciales:

• Detección de Valores Atípicos (Outlier Detection):

  • La RPD detecta casi perfectamente outliers que tienen formas diferentes pero que se mantienen dentro de la región central de los datos (ej. cambios de fase o frecuencia).
  • Métodos basados en desviaciones verticales (como MBD o FD) fallan en estos casos, identificando erróneamente solo a los puntos en los bordes de la nube de datos.
  • Se recomienda un valor de $u$ muy bajo (ej. 0.001) para esta tarea.

• Clasificación Supervisada:

  • En modelos donde las clases difieren por la forma de la curva (no solo por la ubicación), la RPD logra tasas de error de clasificación cercanas a cero.
  • Las otras profundidades muestran un solapamiento significativo en los gráficos DD (Depth-Depth), haciendo imposible la separación lineal de las clases.

• Pruebas de Hipótesis:

  • Las pruebas basadas en rangos de RPD (test de Kruskal-Wallis) mantienen el nivel de significancia nominal (tamaño correcto) y tienen un alto poder estadístico para detectar diferencias en la estructura de covarianza y forma.
  • Otros métodos tienden a producir pruebas con tamaños excesivos (oversized).

• Estimación de Ubicación Robusta:

  • La mediana inducida por RPD es altamente robusta frente a contaminación (outliers).
  • Al aumentar el parámetro $u$ (regularización más fuerte), la estimación se vuelve más robusta (menor varianza bajo contaminación), aunque con un ligero aumento en el sesgo. Esto contrasta con métodos que usan covarianzas clásicas no robustas.

5. Significado e Impacto

Este trabajo cierra la brecha entre la teoría de la profundidad de proyección en espacios de Hilbert y su aplicación práctica.

• Superioridad en Análisis de Forma: La RPD es la primera herramienta de profundidad que demuestra ser capaz de ordenar y analizar datos funcionales basándose principalmente en características de forma, superando las limitaciones de los métodos tradicionales que se centran en la magnitud o la posición vertical.
• Robustez y Versatilidad: Ofrece un marco unificado para tareas de detección de anomalías, clasificación y estimación robusta, con un control flexible sobre la sensibilidad a través del parámetro $u$.
• Viabilidad Computacional: Al proporcionar un algoritmo de aproximación eficiente y un software disponible, hace que la profundidad de proyección regularizada accesible para la comunidad estadística, permitiendo su uso en conjuntos de datos reales de tamaño moderado.

En conclusión, la RPD se posiciona como una herramienta superior para el análisis de datos funcionales complejos, especialmente cuando la estructura geométrica y las formas de las curvas son el foco del interés analítico.