On the passage from nonlinear to linearized viscoelastodynamics

Aquí presento un resumen técnico detallado del artículo "On the passage from nonlinear to linearized viscoelastodynamics" (Del paso de la viscoelastodinámica no lineal a la linealizada), escrito por Barbora Benešová, Malte Kampschulte y Martin Kružík.

1. Planteamiento del Problema

El objetivo central de este trabajo es derivar rigurosamente las ecuaciones de la viscoelastodinámica linealizada (en la reología de Kelvin-Voigt) a partir de un modelo no lineal completo que satisface la indiferencia de marco dependiente del tiempo (frame indifference).

El problema aborda la predictibilidad de la deformación y las tensiones internas de un cuerpo sólido bajo fuerzas aplicadas en un intervalo de tiempo $[0, T]$. Se considera un modelo no lineal que incluye:

• Inercia: Término $\varrho \partial_{tt} y$.
• Energía Elástica: Funcional $E(y)$ que depende de gradientes de deformación (incluyendo materiales "no simples" o de segundo grado para regularización).
• Disipación Viscosa: Funcional $R(y, \partial_t y)$ que modela la disipación de energía.
• Fuerzas Externas: Cargas de cuerpo $\tilde{f}$.

El desafío matemático reside en demostrar que, bajo cargas pequeñas (asintóticamente pequeñas, parametrizadas por $\delta \to 0$), las soluciones del sistema dinámico no lineal convergen a las soluciones del sistema linealizado clásico, y que este límite conmuta con los procesos de discretización temporal y aproximación cuasi-estática.

2. Metodología

Los autores emplean una combinación de análisis asintótico, teoría de convergencia de funcionales ($\Gamma$-convergencia) y métodos de discretización temporal. La estrategia se basa en un esquema de aproximación de múltiples escalas de tiempo:

A. Esquema de Aproximación de Dos Escalas

Para conectar los regímenes dinámicos, cuasi-estáticos y estáticos, introducen dos escalas de tiempo:

1. Escala $h$ (Retardo de tiempo): Reemplazan la segunda derivada temporal (inercia) $\partial_{tt} y$ por un cociente de diferencias $\frac{\partial_t y(t) - \partial_t y(t-h)}{h}$. Esto transforma el problema hiperbólico en un problema de "retardo" (NL-TD) que se comporta como un problema cuasi-estático en intervalos cortos.
2. Escala $\tau$ (Discretización total): Introducen una discretización temporal completa, convirtiendo el problema en una secuencia de problemas variacionales minimizadores (movimientos minimizantes o minimizing movements).

El flujo de aproximación es:
$$\text{Discreto (NL-disc)} \xrightarrow{\tau \to 0} \text{Retardo (NL-TD)} \xrightarrow{h \to 0} \text{Dinámico No Lineal (NL)}$$

B. Escalado Asintótico ($\delta \to 0$)

Se asume que las fuerzas aplicadas son pequeñas ($\tilde{f} \approx \delta f$) y que la deformación $y$ es una pequeña perturbación de la configuración de referencia: $y(t, x) = x + \delta u(t, x)$.
Se reescalan los funcionales de energía y disipación:

• $E_\delta(y_\delta) \sim \frac{1}{\delta^2} E(y_\delta)$
• $R_\delta(y_\delta, \partial_t y_\delta) \sim \frac{1}{\delta^2} R(y_\delta, \partial_t y_\delta)$

El término de energía de segundo orden (materiales no simples) se escala de tal manera que desaparece en el límite lineal, cumpliendo su función de regularización solo en el régimen no lineal.

C. Convergencia de Funcionales ($\Gamma$-convergencia)

Se demuestra que los funcionales de energía y disipación $\Gamma$-convergen a sus contrapartes linealizadas:

• La energía elástica converge a una forma cuadrática basada en el tensor de constantes elásticas $C = \partial^2_F W(Id)$.
• El funcional de disipación converge a una forma cuadrática basada en el tensor de coeficientes de viscosidad $D$.

D. Convergencia EDP (Energy-Dissipation Principle)

El artículo extiende el concepto de EDP-convergencia (convergencia basada en el principio de energía-disipación) a sistemas dinámicos con fuerzas externas. Se demuestra que la estructura variacional subyacente (desigualdades de energía) se preserva en el límite, garantizando que la solución límite satisface la ecuación linealizada.

3. Contribuciones Clave

1. Derivación Rigurosa del Límite Lineal Dinámico: A diferencia de trabajos anteriores que se centraban en problemas estáticos o cuasi-estáticos, este paper demuestra la convergencia para problemas dinámicos completos (hiperbólicos) con inercia.
2. Comutatividad de Límites: Se prueba que el límite de linealización ($\delta \to 0$) conmuta con los límites de discretización temporal ($\tau \to 0$) y de retardo de tiempo ($h \to 0$). Esto significa que se puede obtener el sistema linealizado directamente desde el sistema no lineal completo o a través de las aproximaciones intermedias, obteniendo el mismo resultado.
3. Tratamiento de Materiales No Simples: Se utiliza un modelo de materiales "no simples" (con energía que depende del segundo gradiente de deformación) para garantizar la existencia de soluciones débiles en el régimen no lineal, demostrando que este término desaparece correctamente en la linealización sin afectar la estructura del límite.
4. Convergencia de Soluciones Discretas: Se establece la convergencia de las soluciones de los problemas discretos (minimización de funcionales incrementales) hacia las soluciones de los problemas continuos linealizados.

4. Resultados Principales

• Existencia y Unicidad: Se demuestra la existencia de soluciones débiles para los problemas no lineales (dinámicos, de retardo y discretos) y para los problemas linealizados correspondientes.
• Teoremas de Convergencia:
  • Proposición 6.9 y 6.10: Convergencia de soluciones del problema discreto no lineal (NL-disc) al problema discreto lineal (L-disc) y al problema de retardo lineal (L-TD).
  • Teorema 7.4: Existencia de soluciones para los problemas dinámicos no lineal (NL) y lineal (L) como límites de los problemas de retardo.
  • Teorema 7.7 y 7.8: Convergencia conjunta de los parámetros de retardo ($h$) y de linealización ($\delta$) hacia la solución del problema linealizado dinámico.
• Convergencia Variacional (EDP): En la Sección 8, se demuestra que la familia de problemas $(E_\delta, R_\delta)$ converge en el sentido de EDP (Energy-Dissipation Principle) con fuerzas externas hacia el sistema linealizado. Esto implica que la estructura termodinámica del problema se preserva en el límite.

5. Significado e Impacto

Este trabajo es fundamental para la mecánica de sólidos matemática por varias razones:

• Validación Teórica de la Linealización: Proporciona una justificación matemática rigurosa para el uso de modelos lineales en viscoelastodinámica cuando las deformaciones son pequeñas, algo que a menudo se asume a priori en ingeniería pero que es difícil de probar en sistemas dinámicos no lineales complejos.
• Puente entre Escalas: Establece una conexión formal entre los modelos dinámicos completos, las aproximaciones cuasi-estáticas y los modelos estáticos, mostrando cómo surgen unos de otros mediante la manipulación de escalas de tiempo.
• Herramientas para Modelado: La metodología de usar la $\Gamma$-convergencia y el principio EDP para sistemas dinámicos con fuerzas ofrece un marco potente para analizar otros problemas de reducción de modelos en mecánica de medios continuos (como homogeneización o reducción de dimensión) en regímenes dinámicos.
• Robustez Numérica: Al demostrar que las soluciones de los esquemas de discretización temporal (comúnmente usados en simulaciones numéricas) convergen al sistema linealizado, se valida el uso de estos esquemas para aproximar comportamientos físicos en el régimen de pequeñas deformaciones.

En resumen, el artículo cierra una brecha teórica importante al demostrar que la linealización de la viscoelastodinámica no es solo una aproximación formal, sino un límite matemático riguroso que preserva la estructura variacional y dinámica del sistema original, incluso en presencia de inercia y disipación compleja.