On the height boundedness of periodic and preperiodic points of dominant rational self-maps on projective varieties

Este artículo presenta un contraejemplo a la conjetura sobre la acotación de la altura de los puntos periódicos aislados en automorfismos de grado al menos dos, mientras demuestra que los puntos periódicos están acotados en altura para aplicaciones racionales dominantes cohomológicamente hiperbólicas en variedades proyectivas, aunque sugiere que esto podría no cumplirse para los puntos preperiódicos.

Lo esencial

Imagina que el universo matemático es un enorme tablero de juego donde tienes una regla mágica (una función) que mueve las fichas de un lugar a otro. A veces, si mueves una ficha suficientes veces, esta vuelve a su casilla original. A esas fichas que regresan las llamamos puntos periódicos. Otras veces, una ficha puede llegar a un lugar donde se queda atrapada en un ciclo, pero no necesariamente empieza en él; a estas las llamamos puntos preperiódicos.

Los matemáticos Yohsuke Matsuzawa y Kaoru Sano se preguntaron: ¿Existe un límite para lo "lejos" que pueden estar estas fichas especiales?

En matemáticas, "lejos" se mide con algo llamado altura (una medida de la complejidad de los números que definen la posición de la ficha). La pregunta era: ¿Hay un techo, una altura máxima, que ninguna ficha periódica pueda superar?

Aquí está el resumen de su descubrimiento, explicado con analogías sencillas:

1. El mito del "Techo Infinito" (El Contraejemplo)

Durante mucho tiempo, los matemáticos creyeron una conjetura (una suposición inteligente): "Si tienes una máquina que mueve fichas en un espacio infinito (como el plano cartesiano) y la máquina es lo suficientemente compleja, todas las fichas que vuelven a su casa (puntos periódicos) deben estar dentro de un cierto radio. No pueden estar infinitamente lejos."

El giro: En este artículo, los autores dicen: "¡Falso!".
Construyeron una máquina matemática específica en un espacio de 3 dimensiones (como un cubo imaginario) que rompe esta regla.

• La analogía: Imagina un laberinto donde, cada vez que encuentras una salida que te devuelve al inicio, la siguiente salida te lleva un poco más lejos, y la siguiente aún más lejos. No hay un límite.
• El resultado: Encontraron una secuencia infinita de fichas que vuelven a su punto de partida, pero cada vez están "más lejos" (tienen una altura matemática más grande). ¡El techo no existe en este caso!

2. La excepción que salva la regla (Mapas "Hiperbólicos")

Entonces, ¿todo está perdido? ¿No hay ningún límite? No exactamente. Los autores descubrieron que la clave está en el tipo de máquina que mueve las fichas.

Introdujeron un concepto llamado "hiperbolicidad cohomológica".

• La analogía: Imagina dos tipos de máquinas:
  1. La máquina desordenada (como la del ejemplo anterior): Estira y encoge el espacio de manera caótica en todas direcciones. Aquí, las fichas pueden escaparse al infinito.
  2. La máquina ordenada (hiperbólica): Esta máquina es como un embudo o un imán muy fuerte. Estira el espacio en una dirección y lo comprime en otra de una manera muy equilibrada y predecible.

El hallazgo positivo: Si usas una máquina "hiperbólica" (ordenada), entonces sí existe un techo.

• Si tomas una zona segura del tablero (un conjunto abierto), todas las fichas que vuelven a su casa dentro de esa zona estarán dentro de un límite de distancia. No pueden escapar al infinito. Es como si la máquina tuviera un "cercado" invisible que mantiene a las fichas periódicas bajo control.

3. El caso de las fichas "casi-atrapadas" (Puntos Preperiódicos)

Luego, miraron a las fichas que no necesariamente vuelven a casa, pero que eventualmente entran en un bucle (preperiódicas).

• Aquí la historia es más oscura. Construyeron un ejemplo donde, incluso con una máquina "ordenada" (hiperbólica), las fichas que entran en el bucle pueden estar infinitamente lejos.
• La analogía: Imagina un tobogán muy suave. Si te sientas en la parte de arriba (punto periódico), quizás te quedes cerca. Pero si te deslizas desde muy lejos (punto preperiódico), podrías llegar al fondo desde una altura infinita.
• Esto sugiere que la regla del "techo" funciona bien para las fichas que siempre están en el ciclo, pero falla para las que llegan al ciclo desde el infinito.

¿Por qué importa esto?

Este trabajo es como un mapa de tesoro para los matemáticos que estudian el caos y el orden.

1. Rompe un mito: Nos dice que no podemos asumir que las cosas complejas siempre tienen límites. A veces, el caos permite escapar al infinito.
2. Encuentra el orden: Nos dice que, si buscamos el tipo correcto de reglas (las "hiperbólicas"), podemos garantizar que ciertas cosas se mantengan controladas y predecibles.
3. Abre nuevas preguntas: Ahora sabemos que la historia es más complicada de lo que pensábamos. ¿Cuándo exactamente se rompe el límite? ¿Podemos encontrar un ejemplo donde incluso las fichas preperiódicas tengan un techo?

En resumen:
Los autores nos dijeron: "Cuidado, no todas las máquinas matemáticas tienen un límite de distancia para sus fichas mágicas. Algunas permiten que se escapen al infinito. Pero si eliges la máquina correcta (la hiperbólica), puedes construir un cerco invisible que mantenga a las fichas periódicas seguras y cercanas, aunque las fichas que llegan de lejos (preperiódicas) aún puedan ser un problema."

Es un viaje fascinante entre el caos (donde todo es posible y los límites se rompen) y el orden (donde las reglas estrictas mantienen todo bajo control).

Resumen técnico

A continuación presento un resumen técnico detallado del artículo "On the height boundedness of periodic and preperiodic points of dominant rational self-maps on projective varieties" (Sobre la acotación de la altura de puntos periódicos y preperiódicos de aplicaciones racionales dominantes en variedades proyectivas), escrito por Yohsuke Matsuzawa y Kaoru Sano.

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1. Planteamiento del Problema

El artículo aborda un problema fundamental en la dinámica aritmética: la acotación de la altura de los puntos periódicos y preperiódicos bajo aplicaciones racionales dominantes.

• Contexto: Para morfismos suryectivos no isomórficos $f: \mathbb{P}^N_{\mathbb{Q}} \to \mathbb{P}^N_{\mathbb{Q}}$, es un resultado clásico que el conjunto de puntos preperiódicos tiene altura acotada. Esto se debe a que un punto es preperiódico si y solo si su altura canónica $\hat{h}_f$ es cero, y esta difiere de la altura ingenua por una cantidad acotada.
• La Conjetura: Se planteó la conjetura 1.1 (de [18]) para automorfismos en el espacio afín $\mathbb{A}^N_{\mathbb{Q}}$. Específicamente, si $f: \mathbb{A}^N_{\mathbb{Q}} \to \mathbb{A}^N_{\mathbb{Q}}$ es un automorfismo con grado máximo de funciones coordenadas $\geq 2$, ¿es el conjunto de puntos periódicos aislados de altura acotada?
• El Desafío: Se sabía que la conjetura era cierta para dimensión 2 y para ciertas clases de automorfismos en dimensiones superiores (regulares, triangulares), pero su validez general en dimensión 3 o superior era desconocida. Además, se buscaba entender bajo qué condiciones (como la hiperbolicidad cohomológica) se mantiene la acotación de la altura para puntos periódicos y preperiódicos en variedades proyectivas.

2. Metodología

Los autores emplean una combinación de técnicas de geometría algebraica, teoría de números y dinámica aritmética:

1. Construcción de Contraejemplos: Para refutar la conjetura en dimensión 3, construyen un automorfismo específico en $\mathbb{A}^3$ que explota la estructura de las coordenadas para generar una secuencia de puntos periódicos con alturas que divergen.
2. Análisis de Grados Dinámicos y Hiperbolicidad Cohomológica: Utilizan los grados dinámicos $d_i(f)$ para clasificar las aplicaciones. Una aplicación es cohomológicamente hiperbólica si existe un único $p$ tal que $d_p(f) > d_i(f)$ para todo $i \neq p$.
3. Desigualdades Recursivas de Altura: Para probar la acotación en el caso positivo, utilizan desigualdades recursivas a lo largo de las órbitas, basadas en la existencia de divisores "big" (grandes) en el espacio de Picard racional $\widehat{\text{Pic}}(X)_{\mathbb{R}}$.
4. Teoría de Campos de Números y Reducción Modulo Primos: En la construcción del contraejemplo, analizan la reducción de puntos periódicos módulo un primo ($p=3$) para demostrar que las coordenadas $z$ de los puntos periódicos deben tener una altura $p$-ádica grande, lo que implica una altura global grande.
5. Órbitas Inversas (Backward Orbits): Para el caso de puntos preperiódicos, construyen una secuencia de preimágenes de un punto fijo bajo una aplicación racional en $\mathbb{P}^2$, demostrando que la altura crece exponencialmente a lo largo de esta cadena inversa.

3. Contribuciones Clave y Resultados

El artículo presenta tres resultados principales que redefinen el entendimiento de la acotación de la altura en dinámica aritmética:

A. Refutación de la Conjetura 1.1 en Dimensión 3 (Teorema 1.3 y 2.1)

Los autores construyen un contraejemplo explícito a la conjetura de que los puntos periódicos aislados de un automorfismo de grado $\geq 2$ en $\mathbb{A}^N$ tienen altura acotada.

• Aplicación: $f: \mathbb{A}^3_{\mathbb{Q}} \to \mathbb{A}^3_{\mathbb{Q}}$, definida por $(x, y, z) \mapsto (y, x + y - y^3, 2z - y)$.
• Propiedades:
  • Es un automorfismo.
  • Sus grados dinámicos son $d_1(f) = d_2(f) = 3$ (por lo tanto, no es cohomológicamente hiperbólico).
  • Para cualquier $n \geq 1$, el conjunto de puntos $n$-periódicos es finito (todos son aislados).
  • Resultado Crítico: Existe una secuencia de puntos periódicos $\{P_i\}$ que es Zariski densa en $\mathbb{A}^3_{\mathbb{Q}}$ y cuya altura tiende a infinito ($\lim h(P_i) = \infty$).
• Mecanismo: Las primeras dos coordenadas forman un mapa de Hénon en $\mathbb{A}^2$ (cuyos puntos periódicos tienen altura acotada), pero la tercera coordenada $z$ se define mediante una suma que, bajo reducción módulo 3, genera valores con denominadores grandes, provocando el crecimiento de la altura.

B. Acotación de Altura para Aplicaciones Cohomológicamente Hiperbólicas (Teorema 1.8)

Como resultado positivo, demuestran que la hiperbolicidad cohomológica es una condición suficiente para la acotación de la altura de los puntos periódicos.

• Teorema: Si $f: X \dashrightarrow X$ es una aplicación racional dominante cohomológicamente hiperbólica sobre una variedad proyectiva $X$ definida sobre $\mathbb{Q}$, entonces existe un subconjunto abierto de Zariski no vacío $U \subset X$ tal que el conjunto de puntos periódicos $P$ cuya órbita entera $O_f(P)$ está contenida en $U$ tiene altura acotada.
• Generalización: Este resultado mejora trabajos previos (Wang, Matsuzawa-Wang) al eliminar la necesidad de que $f$ sea birracional.
• Cota Uniforme: El Teorema 3.1 extiende este resultado a familias de aplicaciones, proporcionando una cota superior para la altura de los puntos periódicos en términos de la altura de los parámetros de la familia.

C. Fallo de la Acotación para Puntos Preperiódicos (Teorema 1.9)

Los autores muestran que la condición de hiperbolicidad cohomológica no es suficiente para garantizar la acotación de la altura de los puntos preperiódicos.

• Contraejemplo: Construyen una aplicación racional $f: \mathbb{P}^2_{\mathbb{Q}} \dashrightarrow \mathbb{P}^2_{\mathbb{Q}}$ que es 1-cohomológicamente hiperbólica ($d_1=d, d_2=2$).
• Resultado: Existe un punto fijo $P_0$ y una secuencia de preimágenes $\{P_n\}$ tal que $f(P_n) = P_{n-1}$, donde el conjunto $\{P_n\}$ es Zariski denso y su altura tiende a infinito.
• Implicación: Esto sugiere que la acotación de la altura para puntos preperiódicos podría requerir condiciones más fuertes que la mera hiperbolicidad cohomológica, o que la acotación solo se mantiene si se restringe a cuerpos de números fijos (propiedad de Northcott), aunque la secuencia construida no puede definirse sobre un único cuerpo de números.

4. Significado e Impacto

Este trabajo es significativo por varias razones:

1. Resolución de una Conjetura Abierta: Demuestra que la intuición de que "alta complejidad dinámica implica acotación de altura" (basada en casos de dimensión 2) falla en dimensiones superiores para automorfismos afines, a menos que se impongan condiciones adicionales como la hiperbolicidad cohomológica.
2. Distinción entre Periódicos y Preperiódicos: Establece una diferencia fundamental en el comportamiento de la altura: mientras que para aplicaciones cohomológicamente hiperbólicas los puntos periódicos (en un abierto adecuado) tienen altura acotada, los puntos preperiódicos pueden tener altura no acotada incluso bajo las mismas condiciones de hiperbolicidad.
3. Herramientas Nuevas: La metodología de utilizar la reducción módulo primos para controlar la altura de coordenadas en automorfismos afines, y el uso de desigualdades recursivas de altura basadas en divisores "big" en el contexto de hiperbolicidad cohomológica, proporcionan nuevas herramientas para la investigación en dinámica aritmética.
4. Preguntas Abiertas: El artículo deja abiertas preguntas cruciales, como si existe algún mapa cohomológicamente hiperbólico donde el conjunto de puntos preperiódicos definidos sobre un cuerpo de números fijo sea infinito (violando la propiedad de Northcott), o si la acotación de la altura para preperiódicos puede recuperarse bajo restricciones adicionales.

En resumen, el papel de Matsuzawa y Sano delimita con precisión los límites de la acotación de la altura, mostrando que la hiperbolicidad cohomológica es la clave para los puntos periódicos, pero insuficiente para los preperiódicos, y que sin esta condición, incluso los puntos periódicos aislados pueden escapar de la acotación en dimensiones altas.