On maximal positive invariant set computation for rank-deficient linear systems

1. Planteamiento del Problema

El cálculo de conjuntos alcanzables es fundamental en la teoría de control moderno, especialmente para garantizar la factibilidad recursiva y la estabilidad en el Control Predictivo Basado en Modelos (MPC). Un elemento clave en este contexto es el Conjunto Maximal Positivamente Invariante (MPI), que representa el mayor conjunto de estados desde el cual el sistema puede operar indefinidamente sin violar las restricciones de estado y entrada.

El problema central abordado en este trabajo surge cuando se sintetiza una ley de control de retroalimentación estática (típicamente mediante la ecuación algebraica de Riccati o colocación de polos) que resulta en una matriz de dinámica en lazo cerrado de rango deficiente.

• Causa: En diseños óptimos o estrategias de control "dead-beat", algunos autovalores de la matriz de lazo cerrado ($A_\circ = A + BK$) se colocan en el origen ($\lambda = 0$).
• Consecuencia: Esto hace que la matriz sea singular. Durante el cálculo iterativo del MPI (que implica calcular preimágenes y potencias de la matriz $A_\circ^k$), la dinámica se proyecta en subespacios de dimensión inferior.
• Desafío: Los métodos estándar para calcular el MPI (basados en poliedros o zonótopos) pueden volverse numéricamente inestables, erráticos o computacionalmente prohibitivos cuando la matriz es singular, ya que las iteraciones intermedias no mantienen la dimensión completa del espacio de estados.

2. Metodología Propuesta

Los autores proponen un algoritmo robusto que explota la estructura de la matriz singular mediante la descomposición de Schur real para evitar la inestabilidad numérica y la explosión computacional.

A. Fundamento Teórico

Se utiliza la descomposición de Schur ordenada de la matriz de lazo cerrado $A_\circ = U S U^\top$, donde $S$ es una matriz triangular superior. La matriz $S$ se particiona para separar los autovalores no nulos de los nulos:
$$S = \begin{bmatrix} S_{11} & S_{12} \\ 0 & S_{22} \end{bmatrix}$$
Donde:

• $S_{11}$ contiene los autovalores no nulos (dimensión $d_1$).
• $S_{22}$ es una matriz nilpotente que contiene los autovalores en cero (dimensión $d_2$), con un índice de nilpotencia $p+1$.

B. Estrategia de Cálculo

En lugar de iterar directamente en el espacio original $\mathbb{R}^n$ con la matriz singular, el método sigue estos pasos:

1. Reducción: Se identifica el subespacio asociado a los autovalores no nulos. Se define una dinámica reducida $z_{k+1} = S_{11} z_k$ en un espacio de menor dimensión ($\mathbb{R}^{d_1}$).
2. Cálculo del MPI Reducido: Se calcula el conjunto MPI ($\Phi_z$) para la dinámica reducida y las restricciones proyectadas. Esto se hace de manera estable ya que $S_{11}$ es no singular.
3. Levantamiento (Lifting) y Construcción: El conjunto MPI original $\Phi_x$ se construye como la intersección de dos componentes:
   • $\Phi_x^{[1]}$: Restricciones impuestas durante los primeros $p$ pasos (donde la dinámica nilpotente aún afecta la evolución).
   • $\Phi_x^{[2]}$: Restricciones para $k \ge p$, obtenidas "levantando" el conjunto reducido $\Phi_z$ al espacio original mediante una transformación lineal que incluye una matriz auxiliar $T$ (derivada de $S_{11}$ y $S_{12}$).

C. Representaciones Geométricas

El algoritmo es agnóstico a la representación del conjunto, pero se implementa específicamente para:

• Poliedros: Utilizando la forma de semiespacio ($Fx \le \theta$).
• Zonótopos Constrained (CZ): Una representación que permite operaciones lineales eficientes y es cerrada bajo intersección, ideal para sistemas de alta dimensión.

3. Contribuciones Clave

1. Algoritmo para Sistemas Singulares: Se presenta la primera solución sistemática en la literatura para calcular el MPI exacto cuando la matriz de lazo cerrado tiene autovalores en cero (rango deficiente), un caso común en control óptimo que los métodos estándar no manejan bien.
2. Eficiencia Computacional: Al reducir el problema a un subespacio de dimensión menor ($d_1 < n$) para la parte de la iteración infinita, se evita el crecimiento exponencial de la complejidad y el número de restricciones (hiperplanos) necesario para describir el conjunto.
3. Dualidad de Representaciones: Se demuestra que la misma lógica geométrica se aplica tanto a representaciones poliedrales como a zonótopos restringidos, proporcionando un marco unificado.
4. Análisis de Estructura: Se proporciona un análisis detallado de cómo la nilpotencia de la matriz afecta la dimensión del subespacio en cada paso de la iteración, permitiendo determinar cuándo la proyección se estabiliza.

4. Resultados Experimentales

Los autores validaron el método mediante dos ejemplos:

• Ejemplo Numérico en $\mathbb{R}^6$:

  • Se utilizó un sistema con dos bloques de Jordan de dimensión 1 y 2 para los autovalores cero.
  • El algoritmo calculó el MPI en 0.4 segundos, demostrando la viabilidad de la reducción de dimensión ($d_1=3$) frente a la dimensión original ($n=6$).

• Experimento de Muelles Acoplados (CSE):

  • Se varió la dimensión del sistema ($\ell$) hasta 10 masas (estado de dimensión 20).
  • Comparación de Iteraciones: El método estándar requirió un número de iteraciones ($\bar{k}$) que creció drásticamente con la dimensión, mientras que el método propuesto (rango deficiente) mantuvo un crecimiento moderado.
  • Tiempo de Cálculo: Para dimensiones altas ($\ell \ge 8$), el método estándar se volvió computacionalmente prohibitivo, mientras que el método propuesto permaneció eficiente.
  • Complejidad del Conjunto: El método estándar generó un número significativamente mayor de desigualdades para describir el conjunto (ej. 1496 desigualdades vs. 704 para el método propuesto en $\ell=10$), lo que implica una representación más compacta y manejable con la nueva técnica.

5. Significado e Impacto

Este trabajo es significativo porque resuelve una brecha crítica en la implementación práctica del MPC. Muchos diseñadores de control utilizan leyes de retroalimentación óptima (Riccati) que, aunque matemáticamente estables, introducen autovalores en cero. Sin este algoritmo, el cálculo del conjunto terminal (MPI) necesario para garantizar la estabilidad del MPC podría fallar o ser ineficiente, limitando la aplicación de control predictivo en sistemas de alta dimensión o con restricciones estrictas.

La propuesta permite:

• Garantizar la factibilidad recursiva en MPC incluso con dinámicas singulares.
• Reducir la carga computacional en sistemas de gran escala.
• Ofrecer una representación más compacta de los conjuntos invariantes, facilitando su uso en tiempo real.

El enfoque futuro sugerido por los autores es extender esta metodología al Conjunto Maximal Admisibles de Salida (MOAS), posiblemente utilizando descomposición SVD.