On maximal positive invariant set computation for rank-deficient linear systems

1. Problématique

L'article aborde un problème fondamental en théorie du contrôle, particulièrement crucial pour la Commande Prédictive (MPC) : le calcul de l'Ensemble Invariant Positivement Maximal (MPI). Cet ensemble représente le plus grand sous-ensemble de l'espace d'état à partir duquel le système peut être maintenu indéfiniment sous contraintes d'état et d'entrée, sans jamais violer ces contraintes.

Le problème spécifique traité ici survient lorsque la synthèse du contrôleur (par exemple, via une équation de Riccati algébrique ou un placement de pôles "dead-beat") place un ou plusieurs valeurs propres de la boucle fermée à l'origine (0). Cela rend la matrice de transition d'état en boucle fermée, notée $A_\circ$, défaillante en rang (rank-deficient).

Les défis majeurs identifiés sont :

• Instabilité numérique : Les méthodes standard de récurrence d'ensembles (calcul itératif des prédécesseurs) impliquent des puissances de la matrice $A_\circ^k$. Lorsque $A_\circ$ est singulière, ces opérations deviennent numériquement instables ou conduisent à des projections erratiques sur des sous-espaces de dimension inférieure.
• Complexité computationnelle : Dans les systèmes de haute dimension, la récurrence standard nécessite un grand nombre d'itérations et génère des représentations d'ensembles (polyèdres ou zonotopes) extrêmement complexes, rendant le calcul prohibitif.
• Manque de solutions existantes : La littérature ne propose pas de méthodes efficaces pour gérer spécifiquement ce cas singulier tout en conservant la précision géométrique de l'ensemble MPI.

2. Méthodologie

Les auteurs proposent une approche robuste basée sur la décomposition de Schur réelle pour contourner la singularité de la matrice $A_\circ$.

A. Analyse Structurelle via Décomposition de Schur

La matrice $A_\circ$ est décomposée sous la forme $A_\circ = U S U^\top$, où $U$ est orthogonale et $S$ est une matrice triangulaire supérieure (forme de Schur). Grâce à un tri des valeurs propres, la matrice $S$ est réorganisée pour isoler les valeurs propres nulles dans un bloc nilpotent $S_{22}$ et les valeurs propres non nulles dans un bloc $S_{11}$ :
$$S = \begin{bmatrix} S_{11} & S_{12} \\ 0 & S_{22} \end{bmatrix}$$
où $S_{22}$ est nilpotent d'ordre $p+1$ (c'est-à-dire $S_{22}^{p+1} = 0$).

B. Stratégie de Calcul en Deux Étapes

Au lieu de calculer l'ensemble MPI directement dans l'espace d'état original $\mathbb{R}^n$ avec la matrice singulière, l'algorithme procède comme suit :

1. Réduction de dimension : Le système est projeté sur le sous-espace associé aux valeurs propres non nulles (dimension $d_1$). On définit une dynamique réduite $z_{k+1} = S_{11} z_k$ et un ensemble de contraintes réduit $Z$.
2. Calcul de l'ensemble réduit : L'ensemble MPI réduit $\Phi_z$ est calculé dans cet espace de dimension inférieure $d_1$ en utilisant des méthodes standard (polyédriques ou zonotopes contraints).
3. Relèvement et Intersection : L'ensemble réduit est ensuite "retroussé" (lifted) dans l'espace original $\mathbb{R}^n$.
   • La partie correspondant aux itérations $k \ge p$ (où la dynamique nilpotente s'est annulée) est contrainte par l'ensemble réduit projeté.
   • La partie correspondant aux premières itérations ($k < p$) est calculée explicitement pour garantir que les contraintes sont respectées avant que la projection ne se produise.
   • L'ensemble MPI final $\Phi_x$ est l'intersection de ces deux parties.

C. Représentations Géométriques

L'algorithme est formulé pour deux types de représentations d'ensembles convexes :

• Polyèdres : Représentés par des inégalités linéaires ($Fx \le \theta$).
• Zonotopes Contraints (Constrained Zonotopes - CZ) : Une représentation plus compacte utilisant des générateurs et des contraintes d'égalité linéaire, permettant des opérations d'intersection exactes sans explosion combinatoire excessive.

3. Contributions Clés

• Algorithme Robuste pour Systèmes Singuliers : Proposition d'une méthode systématique (Algorithme 1) pour calculer l'ensemble MPI lorsque la dynamique est de rang déficient, évitant ainsi les instabilités numériques liées aux puissances de matrices singulières.
• Dualité Polyèdre/Zonotope : L'approche est validée pour les deux représentations géométriques majeures, offrant une flexibilité selon les besoins de précision ou de performance.
• Justification Théorique Rigoureuse : Démonstration (Propositions 1 et 2) que l'ensemble MPI peut être décomposé en une intersection d'un ensemble calculé sur les $p$ premières étapes et d'un ensemble projeté sur le sous-espace stable, garantissant l'exactitude mathématique.
• Réduction de Complexité : En travaillant dans le sous-espace de dimension $d_1$ (où $d_1 < n$), la méthode réduit considérablement le nombre d'itérations nécessaires et la complexité géométrique de l'ensemble final.

4. Résultats Expérimentaux

Les auteurs ont validé leur méthode sur deux exemples :

1. Exemple Numérique en $\mathbb{R}^6$ :

   • Un système avec deux blocs de Jordan pour les valeurs propres nulles (dimensions 1 et 2).
   • Le calcul a été effectué en 0,4 seconde.
   • La méthode a correctement reconstruit l'ensemble MPI en $\mathbb{R}^6$ à partir de l'ensemble réduit en $\mathbb{R}^3$.

2. Expérience de Ressorts Couplés (CSE) :

   • Un système physique modélisant des masses reliées par des ressorts, avec une dimension d'état variable ($2\ell$).
   • Comparaison Méthode Standard vs Méthode Proposée :
     • Pour des dimensions élevées ($\ell \ge 8$, soit 16 états), la méthode standard voit le nombre d'itérations et le temps de calcul exploser.
     • La méthode proposée reste efficace et stable même pour des dimensions croissantes.
     • Réduction de la complexité géométrique : Pour $\ell=10$, la méthode standard génère 1496 inégalités, tandis que la méthode proposée n'en génère que 704.

5. Signification et Conclusion

Cet article apporte une solution critique à un problème souvent négligé dans la synthèse de contrôleurs MPC : la gestion des systèmes où le contrôleur optimal place des pôles à l'origine.

• Impact Pratique : La méthode permet d'utiliser des contrôleurs optimaux (comme ceux issus de l'équation de Riccati) sans compromettre la capacité à calculer les ensembles invariants nécessaires à la stabilité et à la faisabilité récursive du MPC.
• Efficacité : Elle transforme un problème numériquement instable et coûteux en un problème bien posé dans un sous-espace de dimension réduite.
• Perspectives : Les auteurs prévoient d'étendre ce cadre au calcul de l'Ensemble Maximal Admissible en Sortie (MOAS) en utilisant une décomposition SVD, élargissant ainsi l'applicabilité à des systèmes avec sorties partiellement observables.

En résumé, ce travail fournit un cadre algorithmique robuste et efficace pour garantir la sécurité et la stabilité des systèmes de contrôle modernes, même dans des configurations dynamiques singulières.