Measure preserving maps with bounded total variation

1. Planteamiento del Problema

El trabajo aborda una conjetura propuesta recientemente por Liu y Pego (2025) en el contexto de la teoría del transporte óptimo y la dinámica de fluidos.

• Contexto: Se considera un conjunto abierto $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ y una aplicación $\phi: \Omega \to \mathbb{R}$ que es Lipschitz y afín a trozos.
• Condiciones: Se asume que el mapa $x \mapsto x + t\nabla\phi(x)$ es inyectivo para casi todo $t > 0$. En el transporte óptimo, si $\phi$ es convexa, esta inyectividad se garantiza automáticamente.
• La Conjetura (Conjetura 1.1): Liu y Pego conjeturaron que cualquier mapa $\phi$ que satisfaga estas condiciones de inyectividad (y que preserva la medida en un sentido específico) debe ser localmente convexo en $\Omega$.
• El Desafío: Probar esto para funciones generales es un problema abierto. El caso donde $\nabla\phi$ es continuo ($C(\Omega)$) ya fue resuelto en la literatura previa, pero el caso general, especialmente cuando la regularidad es baja, permanece sin resolver.

2. Metodología y Enfoque

Los autores atacan el problema bajo una hipótesis de regularidad adicional: asumen que el gradiente $\nabla\phi$ pertenece al espacio de Funciones de Variación Acotada local ($BV_{loc}(\Omega)$). La demostración se estructura en dos pasos fundamentales:

A. Paso 1: Subarmonicidad (Sin asumir BV)

Primero, demuestran que bajo la condición de preservación de la medida (MPC), la función $\phi$ es necesariamente subarmónica ($\Delta \phi \geq 0$ en el sentido de distribuciones).

• Definición de "Expansivo": Introducen la noción de mapas expansivos, donde el empuje de la medida de Lebesgue por el mapa $T_t$ es menor o igual a la medida de Lebesgue misma.
• Técnica: Utilizan un argumento de cálculo variacional y convergencia dominada. Definen una función $g_\psi(t)$ basada en la integral de una función de prueba $\psi$ contra la medida empujada por $T_t$. Al demostrar que esta función es Lipschitz y calcular su derivada en $t=0$, concluyen que $\int \nabla\phi \cdot \nabla\psi \leq 0$ para $\psi \geq 0$, lo que implica $\Delta \phi \geq 0$.
• Nota: Este resultado se mantiene incluso sin la suposición de que $\nabla\phi \in BV$.

B. Paso 2: Uso de la Teoría BV para la Convexidad

Una vez establecida la subarmonicidad, utilizan la estructura de las funciones $BV$ para probar la convexidad local.

• Descomposición de la Derivada: Dado que $\nabla\phi \in BV_{loc}$, su derivada segunda (en el sentido de medidas) se descompone en una parte absolutamente continua ($D_a$) y una parte singular ($D_s$) respecto a la medida de Lebesgue.
  $$D(\nabla\phi) = D_a(\nabla\phi) + D_s(\nabla\phi)$$
• Análisis de la Parte Singular ($D_s$):
  • Usan el Teorema de Rango 1 de Alberti para la parte singular de una medida $BV$. Esto implica que la parte polar de la medida singular tiene la forma $a \otimes b$.
  • Dado que la matriz hessiana debe ser simétrica, deducen que la parte singular es de la forma $\lambda \vec{n} \otimes \vec{n}$.
  • La subarmonicidad (paso 1) fuerza a que $\lambda \geq 0$. Por lo tanto, la parte singular es una medida matricial definida positiva.
• Análisis de la Parte Absolutamente Continua ($D_a$):
  • Utilizan propiedades de Lusin-Lipschitz para funciones $BV$: aproximando $\nabla\phi$ por funciones Lipschitz $f_\Lambda$ en conjuntos de medida casi completa.
  • Aplican la fórmula del área a los mapas $T_t^\Lambda(x) = x + t f_\Lambda(x)$.
  • La condición de preservación de la medida implica que el determinante del jacobiano de $T_t$ debe ser 1 en casi todo punto.
  • Esto conduce a la ecuación $\prod |1 + t\lambda_i(x)| = 1$ para todos los $t \geq 0$, donde $\lambda_i$ son los autovalores de $D_a(\nabla\phi)$. La única solución posible es $\lambda_i = 0$.
  • Conclusión: La parte absolutamente continua de la derivada es cero ($D_a(\nabla\phi) = 0$).

C. Enfoque Alternativo (Transporte Óptimo)

En la Sección 4, los autores ofrecen una segunda demostración de la subarmonicidad utilizando herramientas de transporte óptimo:

• Descomposición Polar de Brenier: Descomponen el mapa $T_t$ en un gradiente convexo $\nabla f_t$ y un mapa que preserva la medida $\Phi_t$.
• Analizan el límite cuando $t \to 0$ de la diferencia $(\nabla f_t - id)/t$, demostrando que converge a la proyección de $\nabla\phi$ sobre el espacio de gradientes.
• Utilizan la convexidad de $f_t$ para mostrar que el laplaciano de la aproximación es no negativo, y pasan al límite para obtener $\Delta \phi \geq 0$.

3. Resultados Principales

• Teorema 1.2 (Resultado Principal): Si $\phi \in W^{1,1}(\Omega)$ satisface la condición de preservación de la medida (MPC) y, adicionalmente, $\nabla\phi \in BV_{loc}(\Omega)$, entonces $\phi$ es localmente convexa en $\Omega$.
• Proposición 2.4: Bajo la condición (MPC), $\phi$ es subarmónica ($\Delta \phi \geq 0$) sin necesidad de asumir que $\nabla\phi \in BV$.
• Caracterización de la Derivada: Bajo las hipótesis del teorema, la derivada distribucional de $\nabla\phi$ es una medida matricial definida positiva (es decir, la parte singular es definida positiva y la parte absolutamente continua es nula).

4. Contribuciones Clave

1. Resolución de la Conjetura bajo Regularidad BV: Proporcionan la primera prueba rigurosa de la conjetura de Liu-Pego para una clase amplia de funciones que incluyen discontinuidades en el gradiente, siempre que estas tengan variación acotada.
2. Análisis de la Parte Singular: Demuestran cómo la condición de preservación de la medida restringe fuertemente la estructura de la parte singular de la derivada de una función $BV$, forzándola a ser definida positiva.
3. Anulación de la Parte Absolutamente Continua: Proban que, bajo la condición de inyectividad para todo $t$, la parte suave de la derivada segunda debe desaparecer, lo cual es un resultado contraintuitivo y fuerte.
4. Dos Demostraciones de Subarmonicidad: Ofrecen tanto un argumento analítico directo (basado en flujos) como uno basado en la teoría de transporte óptimo (descomposición polar), enriqueciendo el entendimiento del problema.

5. Significado e Impacto

• Teoría del Transporte Óptimo: El trabajo conecta profundamente las propiedades geométricas de los mapas de transporte (inyectividad del flujo) con la convexidad de los potenciales, un pilar central en la teoría de Brenier.
• Análisis No Lineal y EDP: El resultado es significativo para el estudio de ecuaciones de tipo Monge-Ampère y flujos de fluidos rígidos, donde la convexidad del potencial es esencial para la unicidad y estabilidad.
• Límites del Problema: Los autores señalan honestamente que el caso donde $\nabla\phi \notin BV$ sigue siendo un problema abierto ("casi completamente abierto"). Sin embargo, su trabajo establece un marco sólido para futuros avances, demostrando que la convexidad es una consecuencia necesaria de la preservación de la medida siempre que se tenga control sobre la variación total.

En resumen, el artículo demuestra que la propiedad de "rompimiento rígido" de flujos potenciales (inyectividad del mapa $x+t\nabla\phi$) es tan restrictiva que, bajo condiciones de regularidad $BV$, fuerza al potencial a ser convexo, eliminando cualquier componente no convexo en su estructura diferencial.