The non-abelian Leopoldt conjecture and equalities of $\mathcal{L}$-invariants

Aquí presento un resumen técnico detallado del artículo "The Non-Abelian Leopoldt Conjecture and Equalities of L-Invariants" de Daniel Barrera Salazar, Andrew Graham y Chris Williams.

1. Problema y Contexto

El artículo aborda la relación entre dos tipos de invariantes $p$-ádicos asociados a representaciones automorfas cuspidales regulares algebraicas (RACAR) $\pi$ de $GL_n(\mathbb{A})$, donde la representación local $\pi_p$ es de Steinberg.

Los dos invariantes principales son:

1. Invariantes de L de Fontaine-Mazur ($L^{FM}_c(\pi)$): Definidos a través de extensiones no triviales en la representación de Galois $p$-ádica asociada $\rho_\pi|_{G_{\mathbb{Q}_p}}$. Estos capturan datos de extensión en el grupo de Galois local.
2. Invariantes de L Automórficos ($L^{r,\varepsilon}_c(\pi)$): Definidos por Gehrmann utilizando cohomología $p$-aritmética y extensiones de representaciones de Steinberg. Estos dependen de la cohomología de sistemas locales sobre espacios simétricos locales y de un signo admissible $\varepsilon$.

El problema central es demostrar la igualdad entre estos invariantes ($L^{FM}_c(\pi) = L^{r,\varepsilon}_c(\pi)$) en dimensiones arbitrarias ($n \geq 2$) y grados de cohomología superiores ($r > 0$), generalizando resultados previos conocidos solo para $n=2$ y $n=3$. Además, el trabajo busca probar la conjetura de Gehrmann sobre la independencia de estos invariantes respecto al grado de cohomología $r$ y el signo $\varepsilon$.

2. Metodología

Los autores emplean una estrategia que combina geometría aritmética, teoría de representaciones $p$-ádicas y cohomología sobreconvergente. La metodología se estructura en tres pilares fundamentales:

A. Geometría de las Eigenvariedades y Cohomología Sobreconvergente

Utilizan las eigenvariedades construidas por Hansen a partir de la cohomología sobreconvergente.

• Conjetura de Leopoldt No Abeliana (NALC): Asumen esta conjetura para garantizar que la dimensión de las componentes irreducibles de la eigenvariedad sea la esperada ($\dim W - \ell(G)$).
• Teorema de Eetalidad (Teorema A): Demuestran que, bajo la NALC y condiciones de "multiplicidad cohomológica uno", la eigenvariedad es étale sobre el espacio de pesos en puntos clásicos no críticos. Esto permite estudiar deformaciones infinitesimales de la representación $\pi$ dentro de una familia $p$-ádica.
• Cohomología de Grados Múltiples: A diferencia de casos anteriores donde $\ell(G)=0$ (discrete series), aquí tratan el caso donde $\ell(G) > 0$, lo que implica que la cohomología cuspidal aparece en múltiples grados ($q, \dots, q+\ell$).

B. Fórmula Automórfica Benois–Colmez–Greenberg–Stevens (BCGS)

Desarrollan una fórmula que relaciona las derivadas de los eigenvalores de Hecke a lo largo de vectores tangentes en la eigenvariedad con los invariantes de L automórficos.

• Complejo de Koszul: Utilizan el complejo de Koszul de Kohlhaase–Schraen para representar las extensiones de representaciones de Steinberg localmente analíticas.
• Espectro de Tor: Introducen una nueva herramienta técnica: una espectro de Tor para series principales localmente analíticas en familias. Esto les permite controlar la cohomología sobreconvergente en familias y demostrar que la reducción de la cohomología a un punto clásico es sobreyectiva bajo ciertas condiciones de deformación.
• Condición de Deformación: Integran la hipótesis de que $\pi$ admite "deformaciones no parabólicas $c$" (existencia de un vector tangente $v$ tal que $v_c \neq v_{c+1}$).

C. Fórmula Galois BCGS y Compatibilidad Local-Global

• Utilizan resultados previos de los autores sobre compatibilidad local-global para clases de torsión en $GL_n$.
• Demuestran que la representación de Galois asociada a una familia de Hida a través de $\pi$ es triangulada (trianguline) con parámetros específicos derivados de los caracteres infinitesimales de la familia.
• Esto permite establecer una fórmula BCGS del lado de Galois, relacionando los parámetros de la triangulación con los invariantes de L de Fontaine-Mazur.

3. Contribuciones Clave y Resultados Principales

Teorema A: Eetalidad y Estructura

Bajo la Conjetura de Leopoldt No Abeliana (NALC), demuestran que para un paquete de eigenvalores clásico no crítico $\phi$ de multiplicidad cohomológica uno:

1. Existe un subespacio cerrado rígido $\Sigma$ en el espacio de pesos tal que la eigenvariedad es étale sobre $\Sigma$ en el punto correspondiente a $\phi$.
2. La cohomología sobreconvergente en grados intermedios tiene una estructura libre específica sobre el anulo de funciones de $\Sigma$, con rangos dados por coeficientes binomiales $\binom{\ell}{i}$.
   Significado: Esto generaliza resultados de [BDJ22] y [HT17] a casos donde la cohomología no está concentrada en un solo grado, permitiendo el análisis de familias en dimensiones superiores.

Teorema B: Igualdad de Invariantes de L

Sea $\pi$ una RACAR $p$-ordinaria de $GL_n$ con $\pi_p$ de Steinberg. Si se cumplen ciertas condiciones (NALC, irreducibilidad de la representación residual, y existencia de deformaciones no parabólicas), entonces:
$$L^{FM}_c(\pi) = L^{r,\varepsilon}_c(\pi)$$
para todo grado $r$ y signo $\varepsilon$.

• Consecuencia: Se deduce que $\rho_\pi|_{G_{\mathbb{Q}_p}}$ es no cristalino en la raíz simple $\alpha_c$.
• Independencia: Se prueba que los invariantes automórficos son independientes del grado de cohomología $r$ y del signo $\varepsilon$ (Corolario C), resolviendo la Conjetura A de Gehrmann bajo la NALC.

Teorema D: Functorialidad para Potencias Simétricas

Aplican sus resultados al caso donde $\pi = \text{Sym}^{n-1} \pi_f$ es el levantamiento de potencia simétrica de una forma modular clásica.

• Verifican que las condiciones de deformación se cumplen para todas las raíces simples.
• Demuestran la functorialidad de los invariantes de L:
  $$L^{r,\varepsilon'}_c(\text{Sym}^{n-1}\pi) = L^{FM}_c(\text{Sym}^{n-1}\pi) = L^{FM}_1(\pi)$$
• Este resultado es incondicional para potencias simétricas cuadradas y cúbicas ($n=3, 4$), ya que la NALC es conocida para $GL_3$ y $GL_4$.

4. Significado e Impacto

1. Generalización de Dimensiones: El trabajo rompe la barrera de $n=2,3$ para la igualdad de invariantes de L, estableciendo un marco teórico válido para $GL_n$ arbitrario.
2. Nuevas Herramientas Técnicas: La introducción de la espectro de Tor para series principales localmente analíticas y su aplicación al estudio de la cohomología sobreconvergente en familias con defecto positivo ($\ell > 0$) es una contribución metodológica significativa que puede aplicarse a otros problemas en el programa de Langlands $p$-ádico.
3. Conexión con la Conjetura de Leopoldt: Muestra cómo la Conjetura de Leopoldt No Abeliana (una conjetura profunda sobre la dimensión de eigenvariedades) tiene consecuencias directas y concretas sobre la estructura de las representaciones de Galois locales (invariantes de L).
4. Conjetura de Excepción Cero: Los resultados proporcionan nuevos casos para la conjetura de cero excepcional de Greenberg-Benois, que predice que los valores $L$-p-ádicos se anulan en ciertos puntos críticos, y que la derivada de estos valores está relacionada con los invariantes de L.
5. Independencia de Grado: La demostración de que los invariantes de L automórficos no dependen del grado de cohomología $r$ (bajo NALC) ofrece una perspectiva alternativa a la conjetura de Venkatesh sobre la generación de cohomología por el álgebra de Hecke derivada.

En resumen, el artículo establece un puente robusto entre la geometría de las eigenvariedades de alta dimensión, la teoría de deformaciones de Galois y los invariantes aritméticos $p$-ádicos, avanzando significativamente en la comprensión de la correspondencia de Langlands local-global en el contexto $p$-ádico.