Double Toeplitz codes and their average weight enumerators

Resumen Técnico: Códigos Dobles de Toeplitz y sus Promedios de Enumeradores de Peso

Autores: Masaaki Harada y Keito Yamaguchi
Fecha: Marzo 2026 (según el manuscrito)

1. Planteamiento del Problema

Los códigos dobles circulares (double circulant) son una clase importante de códigos isoduales con aplicaciones en la construcción de códigos óptimos. Recientemente, se introdujeron los códigos dobles de Toeplitz como una generalización de los códigos dobles circulares para intentar construir códigos isoduales (y formalmente autoduales) con pesos mínimos más grandes.

El problema central abordado en este trabajo es doble:

1. Determinar teóricamente la existencia de códigos dobles de Toeplitz sobre un cuerpo finito $\mathbb{F}_q$ con un peso mínimo especificado $d$, sin necesidad de enumerar exhaustivamente todos los códigos posibles.
2. Clasificar los códigos dobles de Toeplitz óptimos (DT-óptimos) para longitudes modestas y cuerpos finitos pequeños ($q \in \{2, 3, 4\}$), identificando cuáles son inequivalentes a los códigos dobles circulares o dobles negacirculares existentes.

Se define $d_{q,DT}(n)$ como el mayor peso mínimo posible entre todos los códigos dobles de Toeplitz $[n, n/2]$ sobre $\mathbb{F}_q$. El objetivo es determinar este valor y clasificar los códigos que lo alcanzan.

2. Metodología

Los autores emplean una combinación de teoría algebraica de códigos y búsqueda computacional exhaustiva asistida por el sistema Magma.

• Enumeradores de Peso Promedio:
  La contribución teórica principal es el cálculo del enumerador de peso promedio ($\Psi_{q,n}(y)$) para la clase de códigos dobles de Toeplitz. A diferencia de los métodos tradicionales que requieren listar todos los códigos, los autores derivan una expresión explícita para $\Psi_{q,n}(y)$ basándose en el conteo de vectores que pertenecen a un código dado.

  • Utilizan el hecho de que el número total de códigos distintos es $|\Omega_{q,n}| = q^{n-1}$.
  • Analizan la probabilidad de que un vector arbitrario $(u, v)$ pertenezca a un código aleatorio, clasificando los casos según el peso de los subvectores $u$ y $v$.
  • Derivan el Teorema 3.3, que proporciona una fórmula cerrada para $\Psi_{q,n}(y)$ que depende solo de $n$ y $q$.

• Criterio de Existencia:
  Aplican el Proposición 3.4, que establece que si la suma de los coeficientes de los términos de peso menor que $d$ en el enumerador promedio es estrictamente menor que el número total de códigos multiplicado por $(q-1)$, entonces existe al menos un código con peso mínimo $\ge d$. Esto permite establecer límites inferiores para la existencia de códigos óptimos.

• Clasificación Computacional:
  Para longitudes específicas, realizan búsquedas exhaustivas sobre el espacio de parámetros $(t, a, b)$ que definen los códigos dobles de Toeplitz.

  • Aplican reducciones de simetría (Lemas 5.1, 5.2 y 5.3) para evitar contar códigos equivalentes. Por ejemplo, para $q=2$, ordenan los vectores para evitar duplicados por permutación de $a$ y $b$; para $q=3,4$, normalizan el primer componente no nulo.
  • Verifican la equivalencia de los códigos encontrados con códigos dobles circulares ($DC$) y negacirculares ($DN$).

3. Contribuciones Clave

1. Fórmula del Enumerador Promedio (Teorema 3.3):
   Se proporciona una expresión analítica explícita para el promedio de los enumeradores de peso de todos los códigos dobles de Toeplitz. Esto es una herramienta fundamental que permite predecir la existencia de códigos con ciertos parámetros sin necesidad de construcción exhaustiva.

2. Límites de Existencia para Pesos Mínimos:
   Se determinan los valores mínimos de longitud $n$ (denotados como $n_q(d)$) para los cuales existen códigos dobles de Toeplitz con peso mínimo $d$, para $q \in \{2, 3, 4\}$ y $d \le 10$.

   • Se corrigen y amplían resultados previos, confirmando la existencia de códigos para rangos de longitud específicos.
   • Se identifican casos donde no existen tales códigos (ej. no existen códigos binarios $[n, n/2, 5]$ para $n \le 14$).

3. Clasificación de Códigos DT-Óptimos:
   Se presenta una clasificación completa de los códigos dobles de Toeplitz óptimos para:

   • Binarios ($q=2$): Longitudes hasta $n=40$.
   • Ternarios ($q=3$): Longitudes hasta $n=26$.
   • Cuaternarios ($q=4$): Longitudes hasta $n=20$ (excepto $n=16$ debido a limitaciones computacionales, aunque se determinan los pesos máximos para $n=16, 18, \dots, 24$).

4. Descubrimiento de Nuevas Estructuras:
   La clasificación revela la existencia de muchos códigos DT-óptimos que son inequivalentes a cualquier código doble circular o doble negacircular conocido. Esto demuestra que la generalización a códigos de Toeplitz expande significativamente el espacio de búsqueda de códigos óptimos.

4. Resultados Principales

• Valores de $d_{q,DT}(n)$:

  • Para binarios, se confirman y extienden los valores óptimos. Por ejemplo, para $n=40$, el peso mínimo óptimo es 9. Se encuentran cientos de miles de códigos inequivalentes para ciertas longitudes (ej. $n=38$ tiene 118,328 códigos DT-óptimos inequivalentes a los circulares).
  • Para ternarios, se corrige un error en la literatura previa: se demuestra que $d_{3,DT}(28) = 9$ (no 8 ni 10), y se clasifican los códigos óptimos para $n \le 26$.
  • Para cuaternarios, se determinan los valores óptimos para $n \in \{16, 18, 20, 22, 24\}$, encontrando que $d_{4,DT}(16)=6$, $d_{4,DT}(18)=7$, etc.

• Inequivalencia:
  Una conclusión significativa es que para muchas longitudes, los códigos óptimos encontrados no son códigos dobles circulares ni negacirculares. Esto sugiere que la estructura de Toeplitz ofrece una flexibilidad superior para alcanzar pesos mínimos altos en comparación con las estructuras cíclicas tradicionales.

• Tablas de Datos:
  El artículo incluye tablas detalladas (Tablas 3, 6, 10) que listan el número de códigos inequivalentes encontrados, así como las filas generadoras específicas para códigos circulares y negacirculares óptimos.

5. Significado e Impacto

Este trabajo es fundamental para la teoría de códigos correctores de errores por las siguientes razones:

1. Generalización Exitosa: Valida la hipótesis de que los códigos dobles de Toeplitz son una clase rica y prometedora para la construcción de códigos isoduales, superando en diversidad a los códigos dobles circulares.
2. Herramienta Teórica: El método del enumerador promedio proporciona un marco teórico robusto para estudiar la existencia de códigos en clases estructuradas, reduciendo la necesidad de búsquedas "a ciegas".
3. Nuevos Códigos Óptimos: Proporciona una base de datos de códigos óptimos para longitudes moderadas, muchos de los cuales son nuevos y no equivalentes a construcciones conocidas. Estos códigos son candidatos potenciales para aplicaciones prácticas en comunicaciones y almacenamiento de datos donde se requieren altas tasas de corrección de errores.
4. Corrección de Errores: Corrige valores de pesos mínimos reportados incorrectamente en estudios anteriores (específicamente para códigos ternarios de longitud 28), asegurando la precisión en la literatura futura.

En resumen, el artículo establece un nuevo estándar para el análisis de códigos dobles de Toeplitz, combinando demostraciones matemáticas elegantes con poder computacional para expandir el conocimiento sobre los límites de los códigos óptimos sobre cuerpos finitos pequeños.