On the dynamical degree of surjective endomorphisms

Resumen Técnico: Grados Dinámicos de Endomorfismos Sobreyectivos en Superficies

1. Planteamiento del Problema

El artículo se centra en el estudio de las propiedades dinámicas de endomorfismos sobreyectivos $f: X \dashrightarrow X$ en superficies proyectivas complejas suaves $X$. Específicamente, el autor analiza el caso en que $X$ es una superficie de Del Pezzo (donde el divisor anticanónico $-K_X$ es amplio).

El problema principal es entender la relación entre dos invariantes numéricos clave de la dinámica racional:

1. El grado dinámico ($\lambda(f)$): Definido como el límite asintótico del crecimiento de la intersección de clases de divisores bajo iteración:
   $$\lambda(f) := \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{((f^n)^*(H) \cdot H)}$$
   donde $H$ es un divisor amplio.
2. El grado topológico ($\deg f$): El grado de la aplicación como mapa racional.

El objetivo es caracterizar cuándo un mapa racional es regular (morfismo) basándose en la relación numérica entre $\lambda(f)$ y $\deg f$, y explorar las implicaciones de esta relación en la entropía topológica y la estructura de los endomorfismos de rango 1.

2. Metodología

El autor emplea una combinación de herramientas de geometría algebraica y teoría espectral:

• Estabilidad Algebraica: Se utiliza el hecho de que para endomorfismos sobreyectivos en superficies de Del Pezzo, la acción de $f$ en el grupo de Neron-Severi $N^1(X)$ es estable algebraicamente, es decir, $(f^n)^* = (f^*)^n$.
• Teorema de Krein-Rutman: Se aplica este teorema del análisis funcional en el contexto del cono nef de la superficie. Esto permite demostrar la existencia de una clase nef $v$ que es un vector propio de $f^*$ con valor propio $\lambda(f)$.
• Resolución de Singularidades: Se utiliza un diagrama de resolución $Y \xrightarrow{g} X \xrightarrow{h} X$, donde $g$ es una composición de blow-ups y $h$ es un morfismo regular, para relacionar las clases de divisores y los grados de intersección.
• Teorema del Índice de Hodge: Se aplica para establecer desigualdades entre productos de intersección de clases nef.
• Construcciones Explícitas: Se presentan ejemplos concretos de mapas en $\mathbb{P}^2$ y $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ para ilustrar las teorías y calcular grados dinámicos y topológicos.

3. Contribuciones Clave y Resultados Principales

A. Caracterización Espectral del Grado Dinámico (Proposición 1.2)
El autor reafirma y demuestra en este contexto que el grado dinámico $\lambda(f)$ coincide con el radio espectral $\rho(f^*)$ del operador lineal inducido en $N^1(X)$.

• Existe una clase nef $v \in N^1(X)$ tal que $f^*(v) = \lambda(f)v$.
• Se destaca que, a diferencia de mapas racionales dominantes generales (donde $\lambda(f)$ puede ser trascendente), para endomorfismos sobreyectivos en superficies con $q(X)=0$, $\lambda(f)$ es siempre un entero algebraico.

B. Relación entre Grado Dinámico y Grado Topológico (Sección 3)
Se establece la desigualdad fundamental:
$$\lambda(f)^2 \geq \deg f$$
Esta es una propiedad de log-concavidad clásica demostrada mediante medios algebraico-geométricos (usando la negatividad definida de la matriz de intersección de las curvas excepcionales en la resolución).

C. Teorema de Regularidad (Teorema 1.5)
Este es el resultado central del artículo:

Teorema: Un mapa racional sobreyectivo $f$ en una superficie de Del Pezzo es regular (un morfismo) si y solo si $\lambda(f)^2 = \deg f$.

• Dirección $\Rightarrow$: Es evidente mediante la fórmula de proyección $f^* f_* = (\deg f) \text{Id}$.
• Dirección $\Leftarrow$: Es la parte no trivial. El autor demuestra que si $\lambda(f)^2 = \deg f$ pero $f$ no es regular, se llega a una contradicción analizando la clase de Perron $v$. Si $v$ es "grande" (big) o si corresponde a una cara contráctil del cono de Mori (típico en superficies de Del Pezzo), la existencia de curvas excepcionales en la resolución ($E \neq 0$) viola la igualdad de los grados.

D. Entropía y Mapas de Rango 1 (Sección 4)

• Se discuten las "entropías" algebraicas $\log \lambda(f)$ y $\log \deg f$. La entropía topológica $h(f)$ satisface $h(f) \leq \max\{\log \lambda(f), \log \deg f\}$.
• Se introduce la clase de mapas de rango 1 (donde $f^*$ tiene rango 1). Se demuestra que para estos mapas, $\lambda(f)$ es un entero (la traza de $f^*$).
• Contraejemplo a la factorización: El autor construye una familia de mapas $f_\epsilon$ en $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ que son sobreyectivos y de rango 1, pero que no se factorizan a través de $\mathbb{P}^2$ (es decir, no son de la forma $\phi \circ \psi$ con $\psi: X \to \mathbb{P}^2$). Esto demuestra que la estructura de los endomorfismos sobreyectivos es más compleja de lo que sugerían construcciones anteriores.

4. Significado e Impacto

1. Criterio Numérico de Regularidad: El artículo proporciona una herramienta puramente numérica para determinar si un endomorfismo racional en una superficie de Del Pezzo es en realidad un morfismo regular. Esto es crucial para la clasificación de dinámicas en superficies racionales.
2. Rigidez en Superficies de Del Pezzo: Se contrasta la abundancia de endomorfismos "degenerados" (donde $\lambda(f)^2 > \deg f$) en superficies de Del Pezzo con casos no degenerados más restrictivos, sugiriendo una estructura rica pero específica en estas superficies.
3. Complejidad Estructural: La demostración de que existen mapas de rango 1 que no factorizan a través del plano proyectivo desafía la intuición de que todos los mapas "simples" en superficies racionales provienen de proyecciones desde $\mathbb{P}^2$.
4. Fundamentos para Entropía: Al clarificar la relación entre $\lambda(f)$ y $\deg f$, el trabajo establece límites superiores más precisos para la entropía topológica en este contexto geométrico.

En conclusión, el trabajo de Karzheamanov profundiza en la interacción entre la geometría algebraica de las superficies de Del Pezzo y la dinámica compleja, ofreciendo teoremas de caracterización robustos y ejemplos que revelan la sutileza de los endomorfismos sobreyectivos.