PCT-Based Trajectory Tracking for Underactuated Marine Vessels

Resumen Técnico: Seguimiento de Trayectoria para Vessel Marinos Subactuados

1. Planteamiento del Problema

El artículo aborda el desafío del seguimiento de trayectorias en vehículos marinos subactuados. Estos sistemas tienen una limitación fundamental: poseen solo dos entradas de control (fuerza de empuje y momento de guiñada) para regular el movimiento en tres grados de libertad (3-DOF: posición $x, y$ y ángulo de guiñada $\psi$).

Los problemas específicos identificados en la literatura existente incluyen:

• Complejidad Estructural: Los modelos dinámicos originales (dos entradas, tres salidas) son difíciles de controlar directamente mediante métodos de retroalimentación estándar.
• Condiciones de Singularidad: Las transformaciones de coordenadas polares (PCT), que simplifican el modelo, introducen singularidades inherentes. La más crítica ocurre cuando la velocidad de avance ($u$) es cero, lo que hace indefinido el ángulo de deslizamiento lateral ($\psi_a$) y anula la ganancia de control.
• Restricciones de Diseño Previas: Trabajos anteriores (como [6], [21]-[24]) han requerido la suposición estricta de que la velocidad de avance $u(t)$ debe ser estrictamente positiva en todo momento para evitar estas singularidades, lo cual es una limitación teórica y práctica.
• Inestabilidad en el Diseño de Control: El modelo reducido no siempre cumple con la condición de "retroalimentación estricta" (strict-feedback), lo que puede causar singularidades en el diseño recursivo de controladores (backstepping).

2. Metodología Propuesta

El autor propone un esquema de control novedoso basado en un marco de coordenadas polares y una modificación exponencial de la orientación.

A. Transformaciones de Coordenadas Polares (PCT):
Se introducen dos transformaciones para reducir el modelo dinámico original de 2 entradas/3 salidas a un sistema de 2 entradas/2 salidas de segundo orden:

1. Transformación en el marco del cuerpo: Convierte las velocidades de avance ($u$) y deriva ($v$) en velocidad longitudinal ($u_l$) y ángulo de deslizamiento lateral ($\psi_a$).
2. Transformación en el marco de navegación: Define el error de posición en coordenadas polares ($p_e, \psi_b$), donde $p_e$ es la distancia al punto de referencia y $\psi_b$ es el ángulo de acimut hacia el objetivo.

B. Modificación Exponencial de Orientación (EMO):
Para evitar las singularidades que surgen cuando $\cos(\psi_l - \psi_b) = 0$ durante el diseño del controlador por pasos (backstepping), se introduce el concepto de EMO.

• En lugar de seguir la trayectoria de referencia original $(u_{ld}, \psi_{ld})$, el controlador guía al barco hacia una trayectoria modificada $(u^m_{ld}, \psi^m_{ld})$.
• Esta modificación asegura que el error de posición $p_e$ converja exponencialmente a cero y que, a medida que el error disminuye, la trayectoria modificada se aproxime a la original.
• Esto garantiza la estabilidad exponencial del sistema en lazo cerrado sin incertidumbres.

C. Estrategias para Relajar la Condición $u(t) > 0$:
El artículo propone dos enfoques para eliminar la suposición de que la velocidad de avance debe ser estrictamente positiva:

1. Método 1: Condición Relajada (Análisis de Acotación):

   • Se asume que la velocidad de deriva ($v$) está acotada por una constante conocida ($|v| \le v_M$), lo cual es realista para la mayoría de los barcos.
   • Se demuestra que si la velocidad de referencia $u_{ld}$ supera un umbral calculado basado en $v_M$ y los parámetros de diseño, la velocidad real $u(t)$ permanecerá positiva después de un tiempo finito $t_c$.
   • Esto relaja la suposición de "siempre positiva" a "positiva después de un tiempo transitorio".

2. Método 2: Funciones de Barrera de Control (CBF):

   • Se utiliza una Función de Barrera de Control (CBF) para imponer la restricción de seguridad $u(t) > \delta$ (donde $\delta$ es un margen de seguridad).
   • El problema de control se formula como un Programa Cuadrático (QP) que minimiza la desviación del control óptimo mientras satisface la restricción de la barrera.
   • Este método elimina completamente la necesidad de asumir $u(t) > 0$ a priori, pero introduce restricciones adicionales y mayor carga computacional.

3. Contribuciones Clave

• Extensión del Marco AMO a EMO: Se generaliza la técnica de "Modificación Asintótica de Orientación" (AMO) existente a una Modificación Exponencial (EMO), garantizando una convergencia exponencial (más rápida y robusta) en lugar de solo asintótica.
• Revisión de la Suposición de Velocidad Positiva: Se desafía y relaja la restricción de $u(t) > 0$ de la literatura anterior mediante dos vías:
  1. Una condición de acotación de la velocidad de deriva (más práctica).
  2. Una técnica basada en CBF (teóricamente más robusta, aunque computacionalmente costosa).
• Unificación de Casos: El controlador propuesto es aplicable tanto a sistemas de fase mínima como no mínima, sin depender de restricciones estrictas en la trayectoria de referencia (como excitación persistente).

4. Resultados de Simulación

Se realizaron simulaciones numéricas en MATLAB utilizando un modelo dinámico de un barco marino subactuado con incertidumbres y ruido.

• Escenario 1 (Velocidad Alta): Con una velocidad de referencia $u_{ld} = 10$ m/s, ambos métodos (condición relajada y CBF) lograron un seguimiento perfecto de la trayectoria, demostrando que la restricción de seguridad se cumple naturalmente.
• Escenario 2 (Velocidad Baja): Al reducir la velocidad de referencia a $u_{ld} = 1.3$ m/s (violando la condición teórica del Método 1):
  • El Método 1 (condición relajada) mantuvo un buen rendimiento de seguimiento, sugiriendo que la condición teórica es suficiente pero no necesaria.
  • El Método 2 (CBF) falló en seguir la trayectoria, indicando que bajo velocidades muy bajas, las restricciones de seguridad del CBF pueden hacer el problema de optimización no factible o inestable.
• Comparación de Esfuerzo de Control: El Método 2 requirió un esfuerzo de control significativamente mayor que el Método 1 cuando la velocidad era baja.

5. Significado e Impacto

Este trabajo es significativo porque:

1. Rigor Teórico: Proporciona un marco de control más riguroso al eliminar la suposición artificial de velocidad positiva estricta, analizando las condiciones reales bajo las cuales se garantiza la estabilidad.
2. Flexibilidad de Diseño: La introducción de EMO permite evitar singularidades en el diseño del controlador sin sacrificar la estabilidad exponencial.
3. Aplicabilidad Práctica: Al demostrar que el controlador funciona incluso cuando las condiciones teóricas estrictas no se cumplen (en el caso de baja velocidad), el método se vuelve más viable para aplicaciones reales donde las velocidades pueden variar.
4. Nuevas Direcciones: Identifica que la sensibilidad al ruido en el ángulo de acimut cuando el error de posición es pequeño es un desafío pendiente, sugiriendo el diseño de esquemas de EMO que atenúen el ruido como trabajo futuro.

En conclusión, el artículo presenta una solución robusta y teóricamente sólida para el control de seguimiento de trayectorias en barcos subactuados, superando las limitaciones de singularidad y restricciones de velocidad de enfoques anteriores.