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PCT-Based Trajectory Tracking for Underactuated Marine Vessels

本文提出了一种基于极坐标变换和指数方向修正（EMO）的新型控制策略，通过将欠驱动船舶的轨迹跟踪问题转化为简化的二输入二输出反馈系统，有效解决了传统反步法中的严格反馈条件限制及极坐标奇异性问题。

原作者： Ji-Hong Li

发布于 2026-04-07

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原作者： Ji-Hong Li

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

这篇文章讲述的是如何给无人驾驶的船（或者任何只有两个“方向盘”的船）编写一套聪明的导航程序，让它能精准地沿着一条预设的路线航行，即使它本身有点“笨拙”（少了一个控制方向）。

为了让你更容易理解，我们可以把这篇论文的核心思想想象成教一个只有两只手的人去走钢丝。

1. 核心难题：少了一只手的船

想象一下，普通的船有三个自由度：前后走（推）、左右漂（横移）、转方向（舵）。

全动力船：像一辆有油门、刹车和方向盘的汽车，想怎么走就怎么走。
欠驱动船（论文的主角）：像一辆只有油门和方向盘，但没有侧向刹车的自行车。你只能控制它“往前冲”和“转圈”，没法直接让它“横着走”。

挑战：如果船想沿着一条弯曲的线走，它必须通过“往前冲 + 转圈”的组合动作来模拟“横着走”。这就像骑自行车过弯道，必须不断调整速度和角度，非常难控制，而且容易在数学计算上“卡死”（出现奇点）。

2. 第一招：换个视角看世界（极坐标变换 PCT）

以前的方法是在“地图坐标系”（X 轴、Y 轴）里算怎么开船，这就像用直角坐标去描述一个旋转的陀螺，公式复杂得像一团乱麻。

这篇论文的作者说：“咱们换个角度吧！”

比喻：想象你站在船头，不再看“向东走了多少米，向北走了多少米”，而是看"离目标还有多远"和"目标在我的哪个方向"。
操作：作者引入了两个“极坐标变换”（PCT）。这就好比把原本复杂的三维迷宫，直接简化成了二维的“距离 + 角度”游戏。
效果：原本难解的“两个输入、三个输出”的复杂方程，瞬间变成了好解的“两个输入、两个输出”的简单方程。就像把解高数题变成了做小学数学题。

3. 第二招：给目标“加个缓冲垫”（EMO 指数修正）

虽然简化了，但新问题来了：当船和目标完全重合（距离为 0）或者角度刚好是 90 度时，数学公式会除以零，导致程序崩溃（就像导航软件说“你到了，但方向是 90 度，我算不出下一步”）。

旧方法：以前的研究说“只要船一直往前开，速度别停，就不会出事”。但这太死板了，万一船需要减速甚至暂停呢？
新方法（EMO）：作者提出了一个“指数修正”（EMO）的概念。
- 比喻：想象你在追一只兔子。以前是死死盯着兔子跑，一旦兔子停在你正前方，你就懵了。现在，作者让你不要盯着兔子本身，而是盯着兔子“稍微偏一点点”的虚拟影子。
- 原理：这个“虚拟影子”会根据距离自动调整位置。当船离目标很远时，影子就是目标；当船快追上时，影子会温柔地引导船慢慢靠过去，永远避免让船和目标在数学上发生“硬碰撞”。
- 好处：这样就算船停下来或者速度很慢，程序也不会崩溃，而且能保证船以最快的速度（指数级）稳定地靠近目标。

4. 第三招：解决“速度不能为零”的强迫症

以前的理论有一个死规定：船的速度必须永远大于 0（不能停，甚至不能倒着走），否则那个“偏航角”的数学定义就失效了。这在实际操作中很麻烦，因为船有时候需要慢速甚至暂停。

这篇论文提出了两种“破局”方案：

方案一：放宽条件（Method-1）
- 比喻：以前说“你必须一直跑，不能停”。现在作者说：“其实只要你侧向漂移的速度被限制住（比如船体设计决定了它很难横着漂太快），哪怕你正向前进的速度偶尔慢一点，只要别慢到完全停死，系统也能稳住。”
- 结果：这大大降低了要求，让控制更灵活。
方案二：引入“安全护栏”（CBF 技术）
- 比喻：如果船真的可能停下来怎么办？作者给船装了一个智能安全护栏。
- 原理：这个护栏会实时监控船的状态。如果船的速度快要降到危险区（接近 0），护栏就会强制介入，调整油门，确保船永远保持在安全速度以上。
- 代价：虽然彻底解决了“速度不能为零”的假设，但计算量变大，而且如果船的动力不够（比如风浪太大），护栏可能会让船“动不了”（因为为了安全，它禁止你减速）。

5. 总结：这篇论文做了什么？

简单来说，这篇论文做了一件很酷的事：

简化地图：把复杂的航海控制问题，通过“极坐标”变成了简单的“距离 + 角度”问题。
智能引导：发明了一种“虚拟影子”（EMO）算法，让船在追目标时，永远不会因为角度问题而“死机”。
打破教条：证明了船不需要“永远全速前进”也能稳定航行，要么通过物理特性放宽限制，要么用“安全护栏”强制保速。

最终效果：通过电脑模拟测试，这套方法让船在遇到各种干扰（如风浪、模型误差）时，依然能稳稳地沿着预设路线走，即使速度很慢或者需要急转弯，也不会失控。

这就好比给一个只有两只手的舞者，设计了一套完美的舞步，让他不仅能跳复杂的旋转舞，还能在音乐停顿（速度变慢）时，依然优雅地保持平衡，不会摔倒。

论文技术总结：基于极坐标变换（PCT）的欠驱动船舶轨迹跟踪控制

1. 研究背景与问题定义

研究对象：欠驱动海洋船舶（Underactuated Marine Vessels）。
核心挑战：

欠驱动特性：船舶仅有 2 个控制输入（纵荡力 $\tau_u$ 和艏摇力矩 $\tau_r$ ），却需要控制 3 个自由度（3-DOF：纵荡 $u$ 、横荡 $v$ 、艏摇 $r$ ）。
非最小相位问题：当存在升力效应（ $\epsilon_r \neq 0$ ）时，系统表现为非最小相位，增加了控制设计的难度。
奇异性问题：
1. 控制奇异性：在传统的反步法（Backstepping）设计中，若 $\cos(\psi_l - \psi_b) = 0$ 或控制增益 $b_{ul}=0$ （即纵荡速度 $u=0$ ），会导致控制器失效。
2. 极坐标奇异性：极坐标在原点处角度未定义。现有文献通常假设船舶纵荡速度 $u(t)$ 严格大于 0 以规避此问题，但这限制了控制器的通用性和理论严谨性。
现有局限：传统轨迹跟踪方法通常对参考轨迹有严格限制（如持续激励条件），且难以统一处理零和非零艏摇角速度情况。

研究目标：在极坐标框架下，设计一种通用的轨迹跟踪控制器，解决上述奇异性问题，并放宽对 $u(t) > 0$ 的严格假设。

2. 方法论与核心创新

2.1 模型重构：双重极坐标变换 (PCTs)

作者引入了两次极坐标变换，将原本的二输入三输出二阶跟踪模型简化为二输入二输出的反馈系统：

船体坐标系下的变换：将 $(u, v)$ 转换为纵荡速度模长 $u_l$ 和漂角 $\psi_a$ 。
导航坐标系下的变换：将位置误差 $(x_e, y_e)$ 转换为距离误差 $p_e$ 和方位角 $\psi_b$ 。
通过这两次变换，系统被重构为关于 $p_e$ （位置误差）和 $\psi_{le}$ （航向误差）的反馈形式，便于后续控制设计。

2.2 核心创新：指数方向修正 (EMO)

为了解决递归控制设计中因 $\cos(\psi_l - \psi_b) = 0$ 可能引发的奇异性，论文提出了指数方向修正 (Exponential Modification of Orientation, EMO) 概念：

定义：不直接跟踪原始参考轨迹 $(u_{ld}, \psi_{ld})$ ，而是跟踪一个经过修正的虚拟轨迹 $(u^m_{ld}, \psi^m_{ld})$ 。
机制：
- 修正后的航向 $\psi^m_{ld}$ 和速度 $u^m_{ld}$ 被设计为随位置误差 $p_e$ 指数收敛到原始参考值。
- 当 $p_e \to 0$ 时，修正轨迹收敛于参考轨迹。
- 作用：在误差较大时，通过修正航向避免 $\cos(\psi_l - \psi_b)$ 接近零，从而消除控制器中的奇异性，保证闭环系统的指数稳定性（Exponential Stability），优于以往文献中的渐近稳定性。

2.3 解决 $u(t) > 0$ 假设的两种策略

针对极坐标在 $u=0$ 处的奇异性，论文提出了两种放宽或消除“纵荡速度严格为正”假设的方法：

方法一：基于松弛条件的替代 (Relaxed Condition)
- 原理：利用船舶横荡速度 $v$ 有界的物理特性（通过船舶参数和被动有界性可知）。
- 策略：设计参数 $u_m$ 需满足特定不等式（式 30），使得在有限时间 $t_c$ 后，纵荡速度 $u(t)$ 必然保持大于 0。
- 优势：无需引入额外约束，计算量小，适用于大多数实际船舶。
- 局限：是一个充分条件而非必要条件，对参考速度有一定下限要求。
方法二：基于控制屏障函数 (CBF) 的消除
- 原理：利用 CBF 技术构建安全集 $h(\nu) = u - \delta > 0$ 。
- 策略：将控制输入 $\tau_u$ 的求解转化为一个凸二次规划（QP）问题，在满足 CBF 约束的前提下最小化控制误差。
- 优势：理论上完全消除了 $u(t) > 0$ 的假设，允许速度在零附近波动。
- 局限：计算负担重，在存在模型不确定性时可能面临可行性问题，且控制律可能较为保守。

3. 主要贡献

EMO 框架的提出：将原有的渐近方向修正（AMO）扩展为指数方向修正（EMO），在无阻尼情况下保证了闭环系统的指数稳定性，并有效规避了 $\cos(\psi_l - \psi_b)=0$ 的奇异性。
放宽速度假设：
- 提出了基于横荡速度有界性的松弛条件，降低了设计门槛。
- 首次将 CBF 技术应用于解决欠驱动船舶极坐标控制中的原点奇异性问题，完全移除了 $u(t)>0$ 的硬性假设。
统一控制框架：该控制器适用于最小相位和非最小相位系统，且对参考轨迹没有持续激励（PE）等严格限制。

4. 仿真结果与分析

论文通过 MATLAB 数值仿真验证了所提策略的有效性：

场景设置：考虑了非线性水动力阻尼、模型误差及外部干扰（随机噪声）。
对比分析：
- 方法一 vs 方法二：在参考速度 $u_{ld}=10m/s$ 时，两种方法均能实现高精度跟踪，控制输入一致。
- 低速性能：当参考速度降低至 $u_{ld}=1.3m/s$ 时，方法一（松弛条件）仍能保持跟踪性能（尽管不满足理论充分条件），而方法二（CBF）因约束过紧导致无法跟踪。
- 临界速度：当速度提升至 $1.8m/s$ 时，两种方法均有效，但 CBF 方法需要更大的控制能量。
结论：系统稳定性依赖于参考速度超过由船舶参数决定的阈值 $u_m$ 。CBF 方法虽然理论上更通用，但在低速或高不确定性下可能不如基于物理约束的松弛方法鲁棒。

5. 意义与展望

理论意义：解决了欠驱动船舶在极坐标框架下控制设计的奇异性难题，特别是通过 EMO 实现了指数稳定，提升了控制性能的理论上限。
工程意义：提出的两种处理 $u=0$ 奇异性的方法为实际工程应用提供了灵活选择：对于常规高速航行，可采用计算简单的松弛条件法；对于需要极端低速机动或零速操作的场景，可考虑 CBF 方法（需解决计算和可行性问题）。
未来工作：论文指出，当位置误差极小时，船舶方位角对噪声高度敏感，未来需研究能够抑制噪声影响的 EMO 方案设计。

总结：该论文通过巧妙的坐标变换和创新的 EMO 概念，显著简化了欠驱动船舶的轨迹跟踪控制设计，并在理论严谨性和工程实用性之间取得了良好的平衡，为复杂海洋环境下的船舶控制提供了新的解决方案。