There are infinitely many Hilbert cubes of dimension 3 in the set of squares

1. Planteamiento del Problema

El artículo aborda una cuestión fundamental en la teoría de números combinatoria y la teoría de curvas elípticas: la existencia y la dimensión máxima de cubos de Hilbert dentro del conjunto de los cuadrados perfectos ($S = \{n^2 : n \in \mathbb{N}\}$).

• Definición: Un cubo de Hilbert de dimensión $d$ es un conjunto de enteros definido como:
  $$H(a_0; a_1, \dots, a_d) = a_0 + \{0, a_1\} + \dots + \{0, a_d\} = \left\{ a_0 + \sum_{i=1}^d \varepsilon_i a_i : \varepsilon_i \in \{0, 1\} \right\}$$
• La Pregunta Central: Brown, Erdős y Freedman preguntaron si la dimensión máxima de un cubo de Hilbert contenido en los cuadrados está acotada absolutamente.
• Contexto Previo:
  • Se sabe que no existen cubos infinitos en los cuadrados.
  • Dietmann y Elsholtz demostraron que si un cubo está contenido en $S \cap [0, N]$, su dimensión $d$ satisface $d \le 7 \log \log N$.
  • La conjetura de Bombieri-Lang implica que $d$ debería estar acotada absolutamente (posiblemente $d \le 3$).
  • El problema de encontrar cubos de dimensión 4 en los cuadrados sigue abierto y es extremadamente difícil.

El objetivo principal de este trabajo es demostrar que, aunque la dimensión 4 es un problema abierto, existen infinitos cubos de Hilbert de dimensión 3 en los cuadrados, y proporcionar una construcción paramétrica explícita para ellos.

2. Metodología

Los autores combinan tres enfoques principales:

1. Análisis Computacional y Algorítmico:

   • Desarrollaron un algoritmo eficiente (implementado en Pari GP) para buscar soluciones enteras pequeñas. El algoritmo se basa en descomponer el problema en ecuaciones diofánticas y utilizar las propiedades de los divisores de los términos $a_i$.
   • Realizaron búsquedas exhaustivas para $a_0, a_1 \le 10^8$, encontrando miles de cubos reducidos de dimensión 3.
   • Utilizaron herramientas de software (Mathematica) para ajustar modelos de crecimiento a los datos computacionales y formular conjeturas sobre la densidad de estos cubos.

2. Geometría Algebraica (Curvas Elípticas):

   • El núcleo teórico de la demostración de la existencia infinita se basa en la parametrización de soluciones mediante curvas elípticas.
   • El sistema de ecuaciones que define un cubo de dimensión 3 en los cuadrados se reduce a encontrar puntos racionales en curvas elípticas de rango positivo.
   • Específicamente, construyen una familia paramétrica de soluciones utilizando puntos de orden infinito en una curva elíptica definida sobre un campo de funciones. La existencia de estos puntos garantiza la generación de infinitas soluciones.

3. Topología y Densidad:

   • Utilizan las familias paramétricas obtenidas para demostrar propiedades topológicas sobre las razones entre los elementos del cubo ($a_i/a_j$), probando que estos conjuntos son densos en los números reales positivos.

3. Contribuciones Clave y Resultados Principales

El artículo presenta varios teoremas y resultados significativos:

A. Existencia Infinita y Construcción Paramétrica (Teorema 1.5 y 1.6)

• Teorema 1.5: Demuestran que el número de cubos de Hilbert reducidos de dimensión 3, $H_3(N)$, con elementos en $[0, N]$ satisface la cota inferior:
  $$H_3(N) \gg N^{1/8}$$
  Esto confirma que hay una cantidad sustancial y creciente de tales cubos.
• Teorema 1.6: Proveen una construcción explícita de infinitos cubos reducidos de dimensión 3 donde dos de los generadores son iguales ($a_1 = a_2 < a_3$). La cota inferior para este subconjunto específico es $\gg N^{1/10}$.
  • La construcción se basa en una parametrización polinómica compleja derivada de puntos racionales en una curva elíptica.

B. Densidad de Razones (Corolario 1.8)

• Demuestran que para cualquier par de índices $i < j$, el conjunto de razones $\{a_i / a_j\}$ derivado de los cubos de dimensión 3 es denso en $\mathbb{R}^+$ (con la topología euclidiana). Esto implica que las proporciones entre los elementos de estos cubos pueden aproximarse a cualquier número real positivo.

C. Resultados sobre Dimensiones Fijas y Acotaciones (Teorema 1.4 y 1.7)

• Dimensión 2: Para cualquier cuadrado fijo $a_0$, existen infinitos cubos de dimensión 2.
• Dimensión $\ge 2$ con $a_1$ fijo: Si $a_1$ se fija, solo hay un número finito de cubos de dimensión $d \ge 2$.
• Cotas Superiores: Establecen que el número total de cubos de dimensión $d$ en $[0, N]$ es $O(N^{1+\epsilon})$.

D. Observaciones Computacionales y Conjeturas

• Tabla de Soluciones: Presentan tablas extensas con los cubos de dimensión 3 más pequeños encontrados (ej. el más pequeño con entradas positivas y distintas es $10^2 + \{0, 2400\} + \{0, 4389\} + \{0, 8736\}$).
• Conjetura 7.1: Basándose en sus búsquedas computacionales, conjeturan que para cada $n \in \mathbb{N}^+$, existe un cubo de dimensión 3 con $a_0 = n^2$.
• Crecimiento de $H_3(N)$: Mediante ajuste de curvas, sugieren que la función de conteo $H_3(N)$ crece como $N^b$ con $b \approx 0.62$, lo cual es mucho más rápido que la cota teórica inferior de $N^{1/8}$, aunque la cota superior sigue siendo $N^{1+\epsilon}$.
• Dimensión 4: A pesar de sus esfuerzos, no lograron encontrar un cubo de dimensión 4. Encontraron "pseudo-cubos" de dimensión 4 donde 14 de las 16 sumas son cuadrados, pero no los 16.

4. Significado e Impacto

Este trabajo es fundamental por las siguientes razones:

1. Resolución Parcial del Problema de Brown-Erdős-Freedman: Mientras que la pregunta sobre si la dimensión está acotada absolutamente sigue abierta (y la conjetura de Bombieri-Lang sugiere que sí), este paper demuestra que la dimensión 3 no es un fenómeno aislado o finito, sino que ocurre infinitamente y con una densidad significativa.
2. Avance en la Teoría de Curvas Elípticas: La construcción explícita de familias paramétricas de cubos de Hilbert mediante curvas elípticas de rango positivo es un aporte técnico notable que conecta la teoría aditiva de números con la geometría algebraica moderna.
3. Herramientas Computacionales: El algoritmo desarrollado y las tablas de soluciones proporcionan un banco de datos valioso para futuras investigaciones sobre sumas de cuadrados y progresiones aritméticas.
4. Conexión con Problemas Abiertos: El artículo vincula el problema de los cubos de Hilbert con otros problemas famosos, como el "ladrillo perfecto de Euler" (relacionado con $a_0=0, d=3$) y los cuadrados mágicos, mostrando cómo la existencia de ciertos cubos implicaría la existencia de estas estructuras geométricas.

En resumen, el paper establece que el conjunto de cuadrados es lo suficientemente rico para contener infinitas estructuras de dimensión 3, proporcionando tanto la prueba teórica (vía curvas elípticas) como la evidencia computacional masiva, al tiempo que deja abierta la puerta a la existencia de dimensión 4 como el siguiente gran desafío.