Corrigendum to "Optimal time-decay estimates for an Oldroyd-B model with zero viscosity [J. Differential Equations, 306(2022), 456--491]"

Este artículo es una corrección que ajusta la hipótesis y la demostración del Teorema 1.2 presentados en el trabajo original sobre estimaciones de decaimiento temporal óptimo para un modelo Oldroyd-B con viscosidad nula.

Lo esencial

Imagina que este documento es como una nota de errata (un "perdón, nos equivocamos en un detalle") que envían unos científicos que escribieron un libro de matemáticas muy complejo sobre cómo se mueven ciertos fluidos especiales, como los polímeros o plásticos derretidos.

Aquí te explico de qué trata, usando una analogía sencilla:

1. El Problema Original: El "Mapa" Incorrecto

En su libro anterior, estos científicos querían predecir cómo se enfría o se calma un fluido especial con el tiempo. Para hacerlo, usaron una fórmula matemática que necesitaba un mapa de partida (los datos iniciales del fluido).

En la versión original, dijeron: "Para que nuestra fórmula funcione, el fluido debe tener una propiedad muy específica: su 'mapa' inicial debe ser cero en el centro, pero al mismo tiempo, no debe ser cero en ninguna parte cercana al centro".

La metáfora del "Fantasma":
Imagina que intentas dibujar un mapa de un tesoro. Les dijimos a los lectores: "El mapa debe tener un X en el centro, pero también debe decir que no hay nada en el centro".
¡Es imposible! Es como pedir que un fantasma sea invisible y, al mismo tiempo, que puedas verlo claramente. Matemáticamente, si el fluido es "incompresible" (no se puede apretar ni estirar), su mapa en el centro siempre tiene que ser cero. Por lo tanto, su condición original era una contradicción lógica.

2. La Solución: Cambiar la Lupa

Los autores se dieron cuenta del error y dicen: "Disculpen, la condición que pusimos era demasiado estricta y, de hecho, imposible de cumplir".

Para arreglarlo, no tuvieron que cambiar la física del fluido ni la fórmula principal. Solo tuvieron que cambiar la lupa con la que miraban el problema.

• Antes: Miraban el fluido en el "mundo real" (donde las cosas tienen peso y tamaño).
• Ahora: Miran el fluido en el "mundo de las frecuencias" (una versión transformada, como ver la música en una partitura en lugar de escucharla).

Al cambiar la regla de "el fluido debe estar en un lugar específico" por "el mapa de frecuencias debe ser razonable", el problema se resuelve. Ahora sí es posible encontrar fluidos que cumplan las reglas.

3. El Arreglo Técnico (La Lista de Correcciones)

El documento termina con una tabla que es como un manual de instrucciones para corregir el libro:

• Donde el libro decía "Mira el tamaño total del fluido", ahora dice "Mira el tamaño del mapa de frecuencias".
• Donde decía "El tiempo depende del peso inicial", ahora dice "El tiempo depende del mapa inicial".

Son cambios pequeños en el texto, pero vitales para que la matemática tenga sentido.

En Resumen

Este documento es un acto de honestidad científica. Los autores dicen:

"En nuestro estudio anterior, pusimos una condición de entrada que era como pedirle a un círculo que fuera cuadrado al mismo tiempo. Nos dimos cuenta de que no funcionaba. Hemos cambiado la regla de entrada por una más flexible (mirando el problema desde otra perspectiva), y ahora todo el cálculo vuelve a ser correcto y válido."

Es como si un arquitecto dijera: "El plano de la casa estaba bien, pero le pedimos al cimiento que flotara. Hemos cambiado la instrucción para que el cimiento se asiente en la tierra, y ahora la casa es sólida".

Resumen técnico

1. El Problema Identificado

En el artículo original, los autores estudiaron las estimaciones óptimas de decaimiento temporal para el sistema de Cauchy del modelo Oldroyd-B en $\mathbb{R}^3$ (con viscosidad cero en ciertos casos). El error crítico se encontraba en el Teorema 1.2 (ii), donde se establecían cotas inferiores (lower bounds) para la solución bajo la siguiente hipótesis:

• Hipótesis original (errónea): $(u_0, \tau_0) \in L^1(\mathbb{R}^3)$ y $\inf_{0 \le |\xi| \le R} |\hat{u}_0| \ge c_0 > 0$.

La contradicción:
Los autores reconocen que esta hipótesis es matemáticamente contradictoria. Según el Lema 2 (basado en trabajos previos de Schonbek et al.), si un campo de velocidad inicial $u_0$ pertenece a $L^1(\mathbb{R}^3)$ y es solenoidal ($\text{div } u_0 = 0$), entonces su integral sobre todo el espacio debe ser cero:
$$\int_{\mathbb{R}^3} u_0 \, dx = 0$$
Por la definición de la transformada de Fourier, esto implica que $\hat{u}_0(0) = 0$. Sin embargo, la hipótesis original exigía que $|\hat{u}_0|$ estuviera acotada inferiormente por una constante positiva $c_0$ en un entorno del origen ($0 \le |\xi| \le R$), lo cual es imposible si $\hat{u}_0(0) = 0$. Por lo tanto, la condición de $L^1$ era demasiado restrictiva e incompatible con la condición de decaimiento inferior deseada.

2. Metodología y Corrección Propuesta

Para resolver esta inconsistencia sin invalidar los resultados principales del artículo, los autores proponen una modificación en las hipótesis de los datos iniciales:

• Nueva Hipótesis: Se reemplaza la condición de pertenencia a $L^1(\mathbb{R}^3)$ por una condición más débil en el espacio de Fourier:
  $$(\hat{u}_0, \hat{\tau}_0) \in L^\infty(\mathbb{R}^3)$$
• Justificación: Esta condición permite que la transformada de Fourier del dato inicial sea acotada, pero no exige que la función original sea integrable en el sentido de $L^1$, evitando así la contradicción de que $\hat{u}_0(0)$ deba ser cero.
• Construcción de un Ejemplo Válido (Remark 4): Los autores demuestran la viabilidad de la nueva hipótesis construyendo explícitamente un campo de velocidad $u_0$ tal que:
  1. Pertenece a $H^3(\mathbb{R}^3)$.
  2. Es solenoidal ($\text{div } u_0 = 0$).
  3. Su transformada de Fourier $\hat{u}_0$ es acotada ($L^\infty$).
  4. Satisface la condición de no-decaimiento en el origen: $\inf_{0 \le |\xi| \le R} |\hat{u}_0| \ge c_0 > 0$.
     Se define $\hat{u}_0$ mediante una función $g \in C_0^\infty$ y una estructura específica que garantiza la divergencia nula en el espacio de Fourier.

3. Resultados Corregidos

El Teorema 1.2 se reafirma bajo las nuevas condiciones, manteniendo las mismas estimaciones de decaimiento temporal óptimo, pero con dependencias de constantes actualizadas:

• Estimaciones Superiores (Upper Bounds):
  $$\|\nabla^k u_{\epsilon,\mu}(t)\|_{L^2} \le C_2 (1+t)^{-\frac{3}{4} - \frac{k}{2}}, \quad k=0,1,2$$
  $$\|\nabla^{k_1} \tau_{\epsilon,\mu}(t)\|_{L^2} \le C_2 (1+t)^{-\frac{5}{4} - \frac{k_1}{2}}, \quad k_1=0,1$$
  Nota: La constante $C_2$ ahora depende de $\|(u_0, \tau_0)\|_{H^3}$ y $\|(\hat{u}_0, \hat{\tau}_0)\|_{L^\infty_\xi}$, en lugar de la norma $L^1$.

• Estimaciones Inferiores (Lower Bounds):
  Bajo la condición adicional $\inf_{0 \le |\xi| \le R} |\hat{u}_0| \ge c_0 > 0$, se mantienen las cotas inferiores óptimas:
  $$\|\nabla^k u_{\epsilon,\mu}(t)\|_{L^2} \ge c (1+t)^{-\frac{3}{4} - \frac{k}{2}}$$
  $$\|\nabla^{k_1} \tau_{\epsilon,\mu}(t)\|_{L^2} \ge c (1+t)^{-\frac{5}{4} - \frac{k_1}{2}}$$

4. Ajustes en la Demostración

El documento detalla que la prueba original del Teorema 1.2 sigue siendo válida, pero requiere sustituir ciertas cantidades en las estimaciones intermedias. Específicamente, en las páginas 475, 477-479, 482 y 487 del artículo original, todas las referencias a las normas $L^1$ de los datos iniciales (ej. $\|U_0\|_{L^1}$, $\|(u_0, \tau_0)\|_{L^1}$) deben reemplazarse por las normas $L^\infty$ de sus transformadas de Fourier (ej. $\|\hat{U}_0\|_{L^\infty_\xi}$, $\|(\hat{u}_0, \hat{\tau}_0)\|_{L^\infty_\xi}$).

5. Significado e Impacto

• Rigor Matemático: El corregendum elimina una contradicción lógica fundamental en la formulación original, asegurando que las estimaciones de decaimiento temporal óptimo sean matemáticamente consistentes.
• Generalización: Al relajar la condición de $L^1$ a $L^\infty$ en el dominio de Fourier, el resultado se aplica a una clase más amplia de datos iniciales que no necesariamente son integrables, pero cuya transformada de Fourier es acotada.
• Validez de los Resultados: Confirma que las tasas de decaimiento óptimas derivadas en el artículo original son correctas, siempre que se interpreten bajo las hipótesis corregidas. Esto es crucial para la teoría de fluidos viscoelásticos, específicamente para entender el comportamiento a largo plazo de modelos Oldroyd-B sin viscosidad.

En resumen, este documento es una corrección técnica necesaria que refina las condiciones de existencia y comportamiento asintótico de las soluciones, manteniendo la validez de las conclusiones principales del trabajo original.