Rigidity of codimension-1 isometric immersions in complete manifolds

1. Problema y Contexto

El artículo aborda el problema de la rigidez asintótica para inmersiones isométricas de codimensión 1. El contexto matemático se basa en el teorema de Liouville, que establece que las aplicaciones con derivada en $SO(d)$ son movimientos rígidos. En el análisis no lineal y la elasticidad, se estudia cómo las aplicaciones que "casi" preservan la métrica (es decir, cuya energía elástica es pequeña) se aproximan a una isometría o movimiento rígido.

• Antecedentes: Resultados clásicos (Reshetnyak, Friesecke-James-Müller) y extensiones riemannianas (Kupferman, Maor, Schachar) han demostrado rigidez para mapas entre variedades de la misma dimensión o cuando el dominio es compacto y el objetivo también lo es.
• La Dificultad Específica: Para mapas de codimensión 1 (de una variedad $M$ de dimensión $d$ a una $N$ de dimensión $d+1$), la energía elástica estándar (que mide el estiramiento) no es suficiente para garantizar rigidez. Esto se debe a que permite la flexión (bending) sin costo energético, lo que genera oscilaciones (ej. una curva unitaria en $\mathbb{R}^2$ tiene derivada isométrica pero no es constante).
• El Objetivo del Artículo: Extender el resultado de rigidez asintótica de Alpern, Kupferman y Maor [2] al caso donde la variedad objetivo $N$ es completa pero no necesariamente compacta. La falta de compacidad en $N$ introduce dificultades analíticas significativas, ya que las imágenes de las inmersiones pueden "escapar" al infinito o no estar contenidas en una sola carta coordenada.

2. Metodología

El autor desarrolla un enfoque basado en estimaciones cuantitativas de rigidez locales, evitando el uso de medidas de Young (que se empleó en trabajos anteriores para objetivos compactos). La estrategia se divide en los siguientes pasos clave:

A. Definición de la Energía

Se define una energía total $E(u)$ que combina dos términos para una inmersión $u: M \to N$:

1. Energía de Estiramiento ($E_s$): Mide la desviación de la diferencial $du$ de ser una isometría (distancia a $O(T_xM, T_{u(x)}N)$).
2. Energía de Flexión ($E_b$): Mide la variación del vector normal unitario $\nu_u$ en el espacio ambiente, cuantificada a través del operador de forma inducido $S_u$.
   $$E(u) = E_s(u) + E_b(u)$$

B. Reducción al Caso Euclídeo mediante Cartas Extendidas

Dado que $N$ no es compacta, no se puede asumir que la imagen de $u$ esté contenida en una carta global. Para superar esto:

• Se utilizan cartas $\epsilon$-isométricas en $N$ (cartas donde la métrica es casi euclídea y los símbolos de Christoffel son pequeños).
• Se emplea una técnica de extensión de cartas (basada en Convent y Van Schaftingen [6]) mediante funciones de corte (cut-offs). Esto permite definir mapas globales $\phi^{(r)}: N \to \mathbb{R}^{d+1}$ que son difeomorfismos solo en una región específica, permitiendo trabajar con funciones vectoriales en $\mathbb{R}^{d+1}$ sin depender de una inmersión isométrica global de $N$ en un espacio euclídeo grande.

C. Estimaciones Cuantitativas Locales

El núcleo de la prueba es el Teorema 3.7, que establece una estimación de rigidez local en un cubo $Q \subset \mathbb{R}^d$:

• Si la energía de estiramiento y flexión es pequeña en un subconjunto grande de $Q$, entonces la inmersión es cercana a una rotación rígida en coordenadas.
• Se utiliza una proyección ortogonal sobre un subespacio $d$-dimensional para reducir el problema al teorema de rigidez cuantitativa de Friesecke-James-Müller (FJM) en el caso euclídeo.
• Se controla el error de proyección utilizando la energía de flexión y la desigualdad de Poincaré para el campo normal.

D. Compacidad y Convergencia

Se demuestra un teorema de compacidad (Teorema 4.1) utilizando:

• La completitud de la variedad objetivo $N$.
• Una condición de acotamiento en la distancia $L^p$ a un punto fijo $q_0 \in N$ (para evitar que la secuencia se "disperse" al infinito).
• Un argumento de partición del dominio en cubos pequeños, aplicando las estimaciones locales y sumando los errores, demostrando que la secuencia es de Cauchy en el espacio de Sobolev $\dot{W}^{1,p}$.

3. Resultados Principales

El resultado central se resume en el Teorema 4.1:

Hipótesis:

• $(M, g)$ es una variedad Riemanniana compacta, orientada y conexa de dimensión $d$.
• $(N, h)$ es una variedad Riemanniana completa, orientada y conexa de dimensión $d+1$.
• $(u_k) \subset \text{Immp}(M; N)$ es una secuencia de inmersiones de Sobolev.
• La energía total converge a cero: $E(u_k) \to 0$ (implícitamente $E_s \to 0$ y $E_b$ acotada, o $E_b \to 0$ si se considera el límite de la forma).
• Existe un punto $q_0 \in N$ tal que la secuencia está acotada en $L^p$ respecto a $q_0$: $\limsup \int_M d_h^p(u_k, q_0) < \infty$.

Conclusión:
Existe una subsucesión $(u_{k_j})$ que converge en $\dot{W}^{1,p}(M; N)$ a una inmersión isométrica $u \in \text{Immp}(M; N)$.

• La diferencial del límite satisface $du_x \in O((T_xM, g_x), (T_{u(x)}N, h_{u(x)}))$ casi en todas partes.
• Si se impone una condición adicional sobre un operador de forma de referencia $S$ (con $|S| \in L^{p'}$) y la energía de flexión relativa $E^S_b(u_k) \to 0$, entonces el operador de forma inducido por el límite coincide con el de referencia: $S_u = S$.

4. Contribuciones Clave

1. Generalización a Variedades No Compactas: Es la primera extensión de los resultados de rigidez asintótica para codimensión 1 a objetivos completos no compactos, eliminando la necesidad de asumir compacidad en $N$.
2. Método Independiente de Medidas de Young: A diferencia de [2], que utilizaba medidas de Young, este trabajo utiliza estimaciones cuantitativas locales y reducción a coordenadas. Esto ofrece un marco más flexible y elemental.
3. Técnica de Cartas Extendidas: La implementación de cartas extendidas mediante funciones de corte permite manejar la discontinuidad potencial de las aplicaciones de Sobolev en variedades no compactas sin depender de inmersiones isométricas globales de $N$ en $\mathbb{R}^N$.
4. Estimaciones de Rigidez Locales: El Teorema 3.7 proporciona estimaciones cuantitativas de rigidez para inmersiones de Sobolev en dominios con métricas no euclídeas, un resultado de interés independiente.

5. Significado e Impacto

• Teoría de Elasticidad No Euclídea: El trabajo es fundamental para la derivación rigurosa de modelos de baja dimensión (como teorías de placas y conchas) en contextos donde el espacio ambiente no es plano ni compacto.
• Análisis Geométrico: Proporciona herramientas analíticas para estudiar la convergencia de secuencias de aplicaciones entre variedades Riemannianas, especialmente en situaciones donde la compacidad falla.
• Flexibilidad del Método: El enfoque basado en estimaciones locales sugiere que la metodología podría extenderse a codimensiones superiores, aunque el artículo se centra en el caso de codimensión 1.
• Limitación: El autor nota que, a diferencia de trabajos previos en contextos compactos, no se prueba la suavidad ($C^\infty$) de la inmersión límite, solo su pertenencia al espacio de Sobolev y la propiedad isométrica casi en todas partes.

En resumen, el artículo resuelve un problema analítico abierto al eliminar la restricción de compacidad en la variedad objetivo, utilizando una combinación ingeniosa de geometría diferencial, análisis de Sobolev intrínseco y estimaciones cuantitativas de rigidez.