Data-driven Reachable Set Estimation with Tunable Adversarial and Wasserstein Distributional Guarantees

Aquí presento un resumen técnico detallado del artículo "Data-driven Reachable Set Estimation with Tunable Adversarial and Wasserstein Distributional Guarantees" (Estimación de Conjuntos Alcanzables Basada en Datos con Garantías Ajustables Adversariales y de Distribución de Wasserstein), escrito por Georgios Pantazis y Michelle S. Chong.

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1. Planteamiento del Problema

El objetivo central del trabajo es la estimación de conjuntos alcanzables para sistemas dinámicos discretos de tiempo desconocidos, utilizando únicamente trayectorias de estado muestreadas.

• Contexto: Los conjuntos alcanzables definen los estados potenciales que un sistema puede alcanzar en un horizonte finito bajo incertidumbre. Son fundamentales para la verificación de seguridad y el control.
• Desafío: Muchos sistemas modernos tienen dinámicas parcialmente conocidas o fuentes de incertidumbre difíciles de modelar. Aunque existen métodos basados en datos, la mayoría enfrenta tres limitaciones prácticas simultáneas:
  1. Falta de un equilibrio ajustable entre la estrechez del conjunto (tightness) y la fiabilidad (garantías probabilísticas).
  2. Sensibilidad a perturbaciones en los datos (ruido o ataques adversarios) durante la fase de despliegue.
  3. Garantías que no se degradan suavemente ante cambios en la distribución de probabilidad (distribution shifts) entre los datos de entrenamiento y los de prueba.
• Formulación: Se asume acceso a $N$ trayectorias de estado independientes $x^{(i)}$ extraídas de una distribución desconocida $P$. El sistema sigue la dinámica $x_{k+1} = f(x_k)$, donde $f$ es desconocida y puede incluir perturbaciones.

2. Metodología Propuesta

Los autores proponen un marco unificado basado en la optimización de escenarios (scenario optimization) con relajación, extendido para ser robusto frente a perturbaciones y cambios de distribución.

A. Estimación Ajustable (Trade-off Tamaño vs. Robustez)

Se formula un programa de optimización relajado ($P_{N,\rho}$) que minimiza un proxy del tamaño del conjunto alcanzable (ej. volumen, radio) más una penalización por violaciones:
$$\min_{\theta, \xi} \sum_{k \in T} S(R_k(\theta_k)) + \rho \sum_{i \in N} \xi_i$$

• Variables: $\theta$ define la geometría del conjunto (centro, radio, etc.) y $\xi_i \geq 0$ son variables de relajación (slack) para cada trayectoria muestreada.
• Parámetro $\rho$: Controla el compromiso. Un $\rho$ alto penaliza fuertemente las violaciones, forzando al conjunto a cubrir más trayectorias (mayor tamaño, mayor fiabilidad). Un $\rho$ bajo prioriza conjuntos más pequeños, aceptando que algunas trayectorias de entrenamiento puedan quedar fuera.
• Garantía: Esto permite un equilibrio tunable entre el tamaño del conjunto y la probabilidad de inclusión de futuras trayectorias.

B. Robustez Adversarial

Para abordar la incertidumbre en los datos (ruido o ataques), se asume que cada trayectoria muestreada $x^{(i)}$ puede estar perturbada dentro de un conjunto adversario $A_{x^{(i)}}$ (definido por una métrica de distancia, ej. norma $p$).

• Se reformula el problema como $P_{N,\rho,A}$, donde las restricciones deben cumplirse para todas las perturbaciones posibles dentro del radio adversario.
• Se introduce el concepto de complejidad adversarial ($s^*_A$), que cuenta cuántas trayectorias son "críticas" para la definición del conjunto bajo perturbaciones.
• Teorema 1: Proporciona garantías a posteriori sobre la probabilidad de exclusión de trayectorias adversarias ($V_A$), acotada por niveles de violación $\epsilon(s^*_A)$ que dependen de la complejidad y el número de muestras.

C. Robustez Distribucional (Wasserstein)

El trabajo analiza qué sucede si la distribución de las trayectorias en despliegue ($\tilde{P}$) difiere de la de entrenamiento ($P$), pero se mantiene dentro de una bola de Wasserstein de radio $\tilde{\mu}$.

• Teorema 2: Establece un límite superior para la probabilidad de violación fuera de la distribución ($V_{\tilde{\mu}, P}$).
• La cota es: $V_{\tilde{\mu}, P} \leq \epsilon(s^*_A) + \frac{\tilde{\mu}}{R}$, donde $R$ es el radio de las perturbaciones adversarias. Esto demuestra que la robustez adversarial hereda propiedades de robustez distribucional.

D. Reformulaciones Convexas

Para diferentes geometrías de conjuntos alcanzables, los autores derivan reformulaciones convexas tratables:

1. Bolas $p$-normadas: Optimización de centro y radio.
2. Elipsoides: Optimización de matriz de forma y centro (usando log-volumen o factores de escala).
3. Zonotopos: Optimización de centro y anchos medios, con variables auxiliares para la representación lineal.

3. Contribuciones Clave

1. Programa de Escenarios Relajado: A diferencia de trabajos anteriores que usan restricciones duras, este método introduce variables de relajación ($\xi$) y un parámetro de penalización ($\rho$) para crear un compromiso explícito y ajustable entre el tamaño del conjunto y la garantía de inclusión.
2. Robustez Adversarial Integrada: Se adapta la optimización de escenarios robusta para estimar conjuntos alcanzables bajo perturbaciones de trayectorias, derivando garantías probabilísticas a posteriori que dependen de la complejidad adversarial.
3. Garantías de Degradación Suave (Wasserstein): Se obtiene un límite explícito que cuantifica cómo se degradan las garantías teóricas cuando la distribución de los datos de prueba se desplaza dentro de una bola de Wasserstein, conectando la robustez adversarial con la robustez distribucional.
4. Tractabilidad Computacional: Se proporcionan formulaciones convexas específicas para bolas, elipsoides y zonotopos, permitiendo la implementación eficiente en simulaciones.

4. Resultados de Simulación

Los autores validan el método en un sistema dinámico estocástico no lineal con horizonte $T=25$:

• Geometrías: Se compararon bolas euclidianas, elipsoides y zonotopos.
• Efecto de $\rho$: Al aumentar $\rho$, los conjuntos estimados crecen para cubrir más datos (incluyendo muestras adversarias), reduciendo la tasa de violación empírica pero aumentando el volumen.
• Validación Teórica vs. Empírica:
  • La probabilidad empírica de violación adversaria siempre se mantuvo por debajo de los límites teóricos calculados (Teorema 1).
  • Las zonotopos ofrecieron regiones más ajustadas (tighter) pero requirieron más muestras para alcanzar las mismas garantías que las bolas o elipsoides.
• Robustez Distribucional: En experimentos con cambios de distribución (desplazamiento de media y varianza en los datos de prueba), la probabilidad empírica de violación fuera de distribución se mantuvo por debajo de la cota teórica del Teorema 2, confirmando la validez del límite basado en Wasserstein.

5. Significado e Impacto

Este trabajo es significativo porque cierra la brecha entre la teoría de optimización de escenarios y las necesidades prácticas de la ingeniería de control segura basada en datos.

• Flexibilidad Operativa: Permite a los ingenieros ajustar el nivel de conservadurismo (tamaño del conjunto) según el riesgo aceptable mediante el parámetro $\rho$, en lugar de depender de garantías fijas.
• Seguridad Realista: Reconoce que los datos de entrenamiento pueden estar contaminados (ruido/ataques) y que la distribución de operación puede cambiar, proporcionando garantías matemáticas que cubren estos escenarios.
• Fundamento para Control Seguro: Al ofrecer conjuntos alcanzables con garantías probabilísticas rigurosas y adaptativas, habilita el diseño de controladores que pueden operar de manera segura incluso con modelos imperfectos y datos limitados.

En conclusión, el artículo presenta un marco robusto y flexible para la estimación de conjuntos alcanzables, transformando la optimización de escenarios en una herramienta práctica para la verificación de seguridad en sistemas dinámicos inciertos.