Data-driven Reachable Set Estimation with Tunable Adversarial and Wasserstein Distributional Guarantees

Título: Estimativa de Conjuntos Alcançáveis Baseada em Dados com Garantias Adversariais e de Distribuição de Wasserstein Sintonizáveis

1. Problema e Motivação

O artigo aborda o problema de estimativa de conjuntos alcançáveis para sistemas dinâmicos de tempo discreto com dinâmicas desconhecidas. O objetivo é inferir, a partir de um conjunto finito de trajetórias de estado amostradas, um conjunto de estados que o sistema pode atingir em um horizonte de tempo finito, sob incertezas e condições iniciais variáveis.

Os desafios práticos identificados na literatura existente que este trabalho visa resolver simultaneamente são:

1. Trade-off sintonizável: A necessidade de equilibrar o tamanho do conjunto alcançável (precisão/estreiteza) com a confiabilidade (garantia de inclusão de trajetórias futuras).
2. Robustez a perturbações: A maioria dos métodos trata os dados amostrados como verdade absoluta, ignorando ruídos ou ataques adversariais que podem corromper os dados de treinamento.
3. Garantias sob deslocamento de distribuição: A falta de garantias teóricas sobre como a performance degrada quando a distribuição de dados em tempo de execução (deployment) difere da distribuição de treinamento, especificamente sob a métrica de distância de Wasserstein.

2. Metodologia Proposta

Os autores propõem um framework unificado baseado na Otimização de Cenários (Scenario Optimization), mas com inovações significativas para lidar com relaxações e robustez.

A. Formulação do Programa de Cenários Relaxado

Em vez de impor restrições rígidas para que todas as trajetórias amostradas estejam dentro do conjunto estimado (o que pode levar a conjuntos excessivamente grandes devido a outliers), o método introduz variáveis de folga (slack variables) $\xi_i$.

• Objetivo: Minimizar o tamanho do conjunto (ex: volume, raio) mais uma penalidade proporcional às violações das trajetórias amostradas.
• Parâmetro de Sintonia ($\rho$): Um hiperparâmetro que controla o trade-off. Um $\rho$ alto prioriza a consistência com os dados (reduzindo violações, mas aumentando o tamanho do conjunto), enquanto um $\rho$ baixo prioriza conjuntos menores, aceitando mais violações nos dados de treinamento.

B. Robustez Adversarial

O framework estende o problema para considerar que cada trajetória amostrada pode sofrer perturbações adversariais limitadas (ruído ou ataques maliciosos).

• Define-se um conjunto de perturbação $A_x$ ao redor de cada trajetória nominal.
• O problema de otimização é reformulado para garantir que o conjunto alcançável cubra não apenas a trajetória nominal, mas todo o conjunto de perturbações possíveis ao seu redor.
• Utiliza-se a complexidade adversarial ($s^*_A$) para quantificar quantas trajetórias são críticas para a construção do conjunto sob perturbações.

C. Reformulações Convexas para Diferentes Geometrias

Para garantir a viabilidade computacional, o artigo deriva reformulações convexas para três geometrias comuns de conjuntos alcançáveis:

1. Bolas em norma-$p$: Definidas por centro e raio.
2. Elipsoides: Definidas por matrizes de forma e vetores de deslocamento.
3. Zono-topos: Definidos por um centro e uma matriz geradora com fatores de escala.
   Para cada geometria, são apresentadas formulações que permitem a solução eficiente via programação convexa.

D. Robustez à Distribuição (Wasserstein)

O trabalho analisa o desempenho do conjunto estimado quando a distribuição de probabilidade das trajetórias futuras ($\tilde{P}$) difere da distribuição de treinamento ($P$).

• Utiliza-se a distância de Wasserstein-1 para medir o deslocamento entre distribuições.
• Deriva-se um limite superior explícito para a probabilidade de violação fora da distribuição, que depende da complexidade adversarial e da razão entre o raio da bola de Wasserstein e o raio de perturbação adversarial.

3. Principais Contribuições

1. Framework de Relaxação: Introduz variáveis de folga no problema de otimização de cenários para estimativa de conjuntos alcançáveis, permitindo um controle explícito entre o tamanho do conjunto e a garantia de inclusão, superando as abordagens de "caixa preta" anteriores.
2. Garantias Adversariais: Estende a teoria de otimização de cenários para lidar com dados perturbados, fornecendo garantias a posteriori de inclusão de trajetórias futuras mesmo na presença de ruído ou ataques limitados.
3. Garantias de Deslocamento de Distribuição: Estabelece um limite teórico de degradação da garantia probabilística sob deslocamentos de distribuição medidos pela distância de Wasserstein, conectando robustez adversarial com robustez distribucional.
4. Reformulações Práticas: Fornece formulações convexas tratáveis para bolas, elipsoides e zono-topos, facilitando a implementação numérica.

4. Resultados e Simulações

Os resultados foram validados através de simulações numéricas em um sistema dinâmico estocástico não linear:

• Trade-off Sintonizável: As simulações demonstraram que o parâmetro $\rho$ funciona efetivamente como um mecanismo de ajuste. À medida que $\rho$ aumenta, o conjunto estimado cresce para cobrir melhor as trajetórias perturbadas, reduzindo a probabilidade de violação fora da amostra.
• Comparação de Geometrias:
  • Zono-topos: Produziram conjuntos mais "apertados" (menor volume) em comparação com elipsoides e bolas, mas exigiram um número maior de amostras para atingir as mesmas garantias teóricas de violação.
  • Bolas e Elipsoides: Ofereceram garantias mais rápidas com menos amostras, mas com conjuntos geometricamente mais conservadores (maiores).
• Validação Teórica vs. Empírica: Em todos os casos, a probabilidade empírica de violação (medida em testes com novas trajetórias) permaneceu abaixo dos limites teóricos derivados, confirmando a validade das garantias.
• Robustez Distribucional: O teste com distribuições de deslocamento (mudança na média e variância das condições iniciais e perturbações) mostrou que a probabilidade de violação fora da distribuição respeita o limite teórico proposto no Teorema 2.

5. Significado e Impacto

Este trabalho é significativo porque preenche lacunas críticas na verificação e controle de sistemas baseados em dados:

• Segurança em Cenários Reais: Ao considerar perturbações adversariais e deslocamentos de distribuição, o método oferece garantias de segurança mais realistas para aplicações onde os dados de treinamento podem ser imperfeitos ou onde o ambiente operacional muda.
• Flexibilidade Operacional: A capacidade de sintonizar o trade-off entre conservadorismo (tamanho do conjunto) e desempenho (inclusão de dados) permite que engenheiros adaptem o método a diferentes requisitos de segurança e eficiência computacional.
• Fundamento Teórico Sólido: A conexão entre otimização de cenários, robustez adversarial e teoria de transporte ótimo (Wasserstein) fornece uma base matemática rigorosa para a estimativa de conjuntos alcançáveis em sistemas de aprendizado de máquina e controle.

Em resumo, o artigo propõe uma metodologia robusta e sintonizável para estimar conjuntos alcançáveis a partir de dados, garantindo que as previsões de segurança sejam válidas mesmo na presença de ruídos, ataques e mudanças nas distribuições de dados.