Nonlinear Schrödinger equations with spatial white noise potential on full space for $d\le 3$

1. Planteamiento del Problema

El artículo aborda el estudio de la existencia y unicidad de soluciones de energía para ecuaciones de Schrödinger no lineales (NLS) y de Hartree en el espacio completo $\mathbb{R}^d$ (con $d \le 3$), bajo la influencia de un ruido blanco espacial multiplicativo $\xi$.

Las ecuaciones estudiadas son:

1. NLS: $i\partial_t u = -\Delta u + u\xi + |u|^{m-1}u$ en $\mathbb{R}^d$ ($d \le 3, m \ge 1$).
2. Hartree: $i\partial_t u = -\Delta u + u\xi + u \cdot (V_\beta * |u|^2)$ en $\mathbb{R}^3$ ($\beta > 0$).

Desafíos Principales:

• Irregularidad del ruido: El ruido blanco $\xi$ tiene regularidad de Hölder negativa ($\xi \in C^{-d/2-\kappa}_{-\delta}$), lo que hace que el término $u\xi$ no esté bien definido en el sentido clásico de funciones.
• Comportamiento en el infinito: A diferencia de los casos en variedades compactas (como el toro $\mathbb{T}^d$), en $\mathbb{R}^d$ el ruido no decae en el infinito. Esto introduce problemas de crecimiento que complican la definición de espacios de energía y la localización espacial de las soluciones.
• Falta de regularización fuerte: A diferencia de las ecuaciones parabólicas (como la ecuación de Anderson parabólica), el grupo de Schrödinger no tiene propiedades de regularización fuertes, lo que hace que el análisis de singularidades sea más difícil y requiera herramientas específicas para preservar la dispersión.

2. Metodología y Herramientas

Los autores combinan varias técnicas avanzadas de análisis estocástico y ecuaciones en derivadas parciales (EDP):

A. Transformación Exponencial y Renormalización

Se introduce un cambio de variable $u = e^X v$, donde $X$ es un campo aleatorio construido a partir del ruido $\xi$.

• Objetivo: Cancelar la parte más singular de la ecuación. Formalmente, se elige $X$ tal que $\Delta X \approx \xi$.
• Renormalización: Dado que $|\nabla X|^2$ no está definido para $d \ge 2$, se utiliza un procedimiento de renormalización probabilística (productos de Wick) para definir el término residual $Y = \lim_{\epsilon \to 0} (\xi_\epsilon - \Delta X_\epsilon - |\nabla X_\epsilon|^2 - c_\epsilon)$.
• Innovación en $\mathbb{R}^d$: A diferencia de trabajos previos en el toro, los autores construyen un campo $X$ que no crece en el infinito (utilizando una localización espacial de Gubinelli y Hofmanovà). Esto permite que $e^X$ y $e^{-X}$ estén en $L^\infty$, evitando la pérdida de localización espacial de las soluciones.

B. Cálculo Paracontrolado (Paracontrolled Calculus)

Para manejar la interacción entre la irregularidad del ruido y la solución, se utiliza el cálculo paracontrolado.

• Se define un operador transformado $H^\sharp = (\Gamma e^X)^{-1} H (\Gamma e^X)$, donde $\Gamma$ es un mapa aleatorio construido mediante expansiones paracontroladas.
• Este operador $H^\sharp$ es una perturbación "mejor comportada" del Laplaciano que el Hamiltoniano de Anderson original $H$, permitiendo obtener estimaciones de regularidad finas.

C. Desigualdades de Strichartz

Un aporte crucial es la demostración de desigualdades de Strichartz para la ecuación lineal asociada al operador perturbado. Estas desigualdades codifican las propiedades de dispersión y son esenciales para:

1. Probar la unicidad de las soluciones de energía.
2. Establecer el bienestar local (well-posedness) para datos iniciales de baja regularidad.

3. Contribuciones Clave

1. Soluciones de Energía sin Pérdida de Regularidad:
   Los autores definen una noción de "solución de energía" que evita la pérdida de regularidad en tiempo positivo, un problema común en enfoques previos basados en transformaciones exponenciales simples. Esto permite propagar la regularidad del dato inicial.

2. Localización Espacial en Espacio Completo:
   A diferencia de trabajos anteriores en $\mathbb{R}^2$ que sufrían pérdida de localización (las soluciones se dispersaban o crecían en el infinito), este trabajo logra globalidad sin pérdida de localización. Esto se logra mediante la construcción de un campo $X$ que controla el crecimiento en el infinito.

3. Primeros Resultados en $\mathbb{R}^3$:
   Proporcionan los primeros resultados de existencia y unicidad para estas ecuaciones singulares dispersivas en el espacio completo tridimensional ($\mathbb{R}^3$). Los resultados previos se limitaban al toro $\mathbb{T}^3$.

4. Datos Deterministas:
   En dos dimensiones, demuestran el bienestar local para datos iniciales deterministas en espacios de Sobolev de baja regularidad ($H^\sigma$ con $\sigma < 1$), algo que no se había logrado en el espacio completo con ruido blanco.

4. Resultados Principales

Teorema de Existencia y Unicidad (Global)

Para $d \in \{2, 3\}$ y datos iniciales $u_0$ en el espacio aleatorio $e^{-X}(L^2_\mu \cap H^1)$:

• Existencia: Existe una solución de energía global en $C(\mathbb{R}, e^{-X}(L^2_\mu \cap H^1))$ para:
  • NLS en $\mathbb{R}^2$ ($m \ge 1$).
  • NLS en $\mathbb{R}^3$ ($1 \le m < 6$).
  • Hartree en $\mathbb{R}^3$ ($\beta > 0$).
• Unicidad: La solución es única para:
  • NLS en $\mathbb{R}^2$ ($m \ge 1$).
  • Hartree en $\mathbb{R}^3$ ($\beta > 1/2$).

Bienestar Local (Baja Regularidad)

Utilizando las desigualdades de Strichartz y un argumento de punto fijo:

• NLS en $\mathbb{R}^2$: Bienestar local para datos en $L^2_\sigma \cap H^\sigma$ con $\sigma \in (\sigma_m, 1)$, donde $\sigma_m = 1 - \frac{1}{m-1}$.
• Hartree en $\mathbb{R}^3$: Bienestar local para $\beta > 1/2$ en espacios ponderados adecuados.

Desigualdades de Strichartz

Se prueban desigualdades de Strichartz para el flujo lineal asociado al Hamiltoniano de Anderson en $\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$):
$$\|S_t v_0\|_{L^p([0,1], W^{\gamma, q})} \lesssim \|v_0\|_{L^2_\mu \cap H^{\frac{d}{2p} + \kappa + \gamma}}$$
Esto es fundamental para controlar la no linealidad y probar la unicidad.

5. Significado e Impacto

Este trabajo representa un avance significativo en la teoría de EDPs estocásticas singulares (singular SPDEs) dispersivas:

• Superación de limitaciones geométricas: Muestran que es posible estudiar estas ecuaciones en espacios no compactos ($\mathbb{R}^d$) sin sacrificar la localización espacial ni la regularidad, algo que se consideraba extremadamente difícil debido a la invarianza traslacional del ruido blanco.
• Unificación de métodos: Integran exitosamente la transformada exponencial (típica en modelos de Anderson) con el cálculo paracontrolado y las técnicas de dispersión (Strichartz), cerrando la brecha entre el análisis en variedades compactas y espacios completos.
• Aplicabilidad: Los resultados abren la puerta al estudio de fenómenos de propagación de ondas en medios aleatorios desordenados en espacios ilimitados, con aplicaciones potenciales en física de la materia condensada y óptica no lineal en medios aleatorios.

En resumen, el artículo establece un marco riguroso para la resolución global y única de NLS y Hartree con ruido blanco en $\mathbb{R}^d$ ($d \le 3$), resolviendo problemas de regularidad y localización que habían permanecido abiertos.