Bivariate Frank Copula: Some More Results on Point Estimation of the Association Parameter from a Bayesian Perspective and Revisiting the Goodness of Fit Tests with an Application to Model Groundwater Data from Dong Thap, Vietnam

Resumen Técnico: Copula Frank Bivariada: Estimación Puntual y Bondad de Ajuste con Aplicación en Aguas Subterráneas

Planteamiento del Problema
Este trabajo aborda dos desafíos principales en el análisis estadístico de datos bivariados utilizando la Copula Frank. Primero, aunque investigaciones anteriores (Pham et al., 2025) establecieron la superioridad del Estimador de Máxima Verosimilitud (MLE) sobre los estimadores del método de momentos para el parámetro de asociación $\theta$, el rendimiento de los estimadores bayesianos bajo priores no informativos permaneció inexplorado. Segundo, aunque Genest et al. (2006) introdujeron pruebas de Bondad de Ajuste (GoF) para Copulas Frank, sus valores críticos se basaron en simulaciones limitadas (1.000 repeticiones) y carecían de tablas exhaustivas para tamaños de muestra y rangos de parámetros variables. Además, los autores identificaron la necesidad de aplicar estas herramientas estadísticas a datos ambientales del mundo real, específicamente la contaminación de aguas subterráneas en el Delta del Mekong, donde las distribuciones marginales a menudo no son normales.

Metodología
El artículo se divide en dos componentes principales:

1. Estimación Puntual Bayesiana:
   Los autores investigan dos estimadores bayesianos para el parámetro de asociación $\theta$ bajo pérdida de error cuadrático:

   • Estimador Bayesiano de Prior Plana (BFPE): Derivado utilizando un prior generalizado plano no informativo ($\pi_{FP}(\theta) = d > 0$).
   • Estimador Bayesiano de Prior de Jeffreys (BJPE): Derivado utilizando el prior invariante de Jeffreys ($\pi_{JP}(\theta) = \sqrt{I(\theta)}$), donde $I(\theta)$ es la Información de Fisher por Observación.

   Estos estimadores se comparan con el MLE mediante un estudio de simulación exhaustivo que involucra $M = 4 \times 10^4$ repeticiones. El estudio evalúa el Sesgo y el Error Cuadrático Medio (MSE) a través de tamaños de muestra $n$ que van de 15 a 100 y valores de parámetro $\theta$ de 0.1 a 10. La integración numérica requerida para los estimadores bayesianos se realiza utilizando cuadratura adaptativa en R, prestando una cuidadosa atención a la precisión computacional para tamaños de muestra pequeños.

2. Pruebas de Bondad de Ajuste (GoF):
   Los autores revisan las estadísticas de prueba de Cramér–von Mises ($S_n$) y Kolmogorov–Smirnov ($T_n$) propuestas por Genest et al. (2006). Realizan un extenso estudio de simulación con 10.000 repeticiones para generar tablas ampliadas de valores críticos para $S_n$ y $T_n$ en los percentiles 90 y 95. Estas tablas cubren tamaños de muestra $n \in [25, 1000]$ y parámetros de asociación $\theta \in [-25, 25]$. El estudio también analiza las propiedades distribucionales de estas estadísticas, notando su falta de simetría con respecto a $\theta$.

3. Aplicación a Datos de Aguas Subterráneas:
   La metodología se aplica a un conjunto de datos de la provincia de Dong Thap, Vietnam, que comprende muestras de aguas subterráneas de dos subregiones (Norte, $n=23$; Sur, $n=44$). El estudio modela la asociación entre Arsénico (As) y tres elementos benignos: Cloruro (Cl), nivel Redox (Eh) y pH. Los autores primero verifican la no normalidad de las distribuciones marginales y luego prueban la hipótesis de que los pares bivariados siguen una distribución Copula Frank utilizando los valores críticos recién generados y los valores p de bootstrap.

Resultados Clave

• Rendimiento del Estimador:

  • Muestras Pequeñas ($n \le 25$): El BJPE domina uniformemente tanto al BFPE como al MLE en términos de MSE. El MLE se desempeña bien pero es ligeramente inferior al BJPE en este rango.
  • Muestras Moderadas a Grandes ($n > 25$): La brecha de rendimiento se reduce significativamente. Para $n > 25$, el BJPE, BFPE y MLE exhiben un rendimiento casi idéntico en términos de Sesgo y MSE, volviéndose estadísticamente equivalentes.
  • Matiz Computacional: Los autores notan que para muestras muy pequeñas ($n \le 10$), resolver la ecuación normal mediante el comando nleqslv en R produce resultados MLE menos precisos en comparación con maximizar la log-verosimilitud directamente mediante optim.

• Propiedades de la Prueba GoF:

  • Asimetría: Contrario a la intuición, los valores críticos para $S_n$ y $T_n$ no son simétricos con respecto a $\theta$ (es decir, los valores para $\theta$ y $-\theta$ difieren). Esto se atribuye a la falta de simetría en la función de distribución $K(t, \theta)$.
  • Monotonía: Los valores críticos para ambas estadísticas disminuyen a medida que aumenta la magnitud de $\theta$ (alejándose de 0).
  • Implementación: Los autores proponen una regla práctica para implementar la prueba GoF: usar el valor absoluto del parámetro estimado, $|\hat{\theta}|$, para seleccionar valores críticos de las tablas, o reorientar los datos $(U, 1-V)$ si $\hat{\theta}$ es negativo y $|\hat{\theta}| \ge 2.5$.

• Aplicación en Aguas Subterráneas:

  • Las pruebas GoF (tanto $S_n$ como $T_n$) y los valores p de bootstrap apoyan abrumadoramente la hipótesis de que los pares bivariados (As-Cl, As-Eh, As-pH, Eh-pH) en ambas subregiones pueden modelarse mediante la Copula Frank.
  • Los parámetros de asociación estimados ($\hat{\theta}$) revelan dinámicas distintas: As y pH muestran asociación positiva en el Norte pero asociación débil en el Sur; As y Eh muestran una fuerte asociación negativa en el Sur.
  • Las estimaciones de correlación paramétrica derivadas de la Copula Frank ($\hat{\hat{\rho}}_K, \hat{\hat{\rho}}_S$) se alinean estrechamente con las estimaciones no paramétricas, validando el ajuste del modelo.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma hacer tres contribuciones específicas:

1. Extensión Bayesiana: Proporciona la primera comparación exhaustiva de estimadores bayesianos (BFPE y BJPE) contra el MLE para la Copula Frank. Establece que el BJPE es el estimador preferido para tamaños de muestra pequeños ($n \le 25$) debido a su superior rendimiento en MSE.
2. Refinamiento de las Pruebas GoF: Complementa y refina el trabajo seminal de Genest et al. (2006) proporcionando tablas de valores críticos de alta precisión basadas en 10.000 repeticiones (frente a 1.000 previamente) y descubriendo una asimetría no intuitiva en las distribuciones de las estadísticas de prueba.
3. Aplicación Práctica: Demuestra la utilidad de la Copula Frank para modelar datos ambientales complejos y no normales, específicamente la dinámica de aguas subterráneas en Vietnam, ofreciendo un marco robusto para comprender la asociación entre elementos carcinógenos y benignos.

Los autores mantienen un tono modesto, señalando que, aunque las pruebas GoF apoyan el modelo de Copula Frank, esta aplicación sirve como punto de partida para futuros estudios que involucren regresión no lineal y extensiones multivariadas. También destacan que los aspectos computacionales del MLE en R requieren un manejo cuidadoso para muestras muy pequeñas para evitar sesgos.