Exact Stiefel Optimization for Probabilistic PLS: Closed-Form Updates, Error Bounds, and Calibrated Uncertainty

Resumen Técnico: Optimización Exacta de Stiefel para PLS Probabilístico

Enunciado del Problema
El Mínimo Cuadrado Parcial Probabilístico (PPLS) es un marco basado en verosimilitud para el aprendizaje de dos vistas que proporciona factores latentes interpretables y una incertidumbre calibrada. Sin embargo, los pipelines de ajuste existentes, que suelen depender de actualizaciones de Expectación-Maximización (EM) o ECM, enfrentan dos cuellos de botella críticos:

1. Acoplamiento Ruido-Señal: Las actualizaciones conjuntas de los parámetros de la señal latente y las varianzas del ruido crean dependencias mutuas que aplanan la función objetivo en ciertas direcciones bajo alto ruido, lo que conduce a sensibilidad en la inicialización y errores en la recuperación de parámetros.
2. Restricciones de Ortogonalidad: Imponer la ortonormalidad de las matrices de carga ($W^\top W = C^\top C = I_r$) dentro de los subpasos de EM/ECM es no trivial. Los métodos existentes a menudo manejan esto indirectamente mediante penalizaciones de punto interior, las cuales no garantizan factibilidad exacta en cada iteración.

Además, los enfoques anteriores para la estimación del ruido (por ejemplo, Hu et al., 2025) suelen promediar sobre todo el espectro de valores propios, mezclando direcciones de señal y ruido, lo que introduce un sesgo determinista e inconsistencia.

Metodología
Los autores proponen un marco de extremo a extremo que desacopla la estimación del ruido de la optimización de la señal con restricciones, operando dentro de la parametrización PPLS identificable de Bouhaddani et al. (2018). El pipeline consta de cuatro etapas:

1. Pre-estimación del Subespacio de Ruido: En lugar del promediado de todo el espectro, el método estima las varianzas del ruido de observación ($\sigma^2_e, \sigma^2_f$) promediando los $p-r$ y $q-r$ valores propios más pequeños de las covarianzas muestrales marginales. Esto apunta directamente al subespacio de ruido, evitando la contaminación por valores propios de señal.
2. Verosimilitud Escalar con Ruido Fijo: Con las varianzas del ruido fijas, la log-verosimilitud negativa de los datos observados se reduce a una función objetivo escalar. Esta expansión evita determinantes y inversas matriciales explícitas, expresando la verosimilitud en términos de estadísticos escalares proyectados ($Q_x, Q_y, Q_{xy}$) y parámetros diagonales.
3. Optimización Exacta en la Variedad de Stiefel: La optimización con restricciones se realiza en la variedad producto $\text{St}(p, r) \times \text{St}(q, r) \times \mathbb{R}^{2r+1}_{++}$. El artículo introduce dos estrategias:
   • SLM-Manifold: Un enfoque completo de optimización riemanniana que utiliza gradientes conjugados y retracciones QR para mantener la ortogonalidad exacta en cada iteración.
   • BCD-SLM: Un esquema de descenso de coordenadas por bloques que explota la separabilidad escalar de la función objetivo PPLS. Actualiza las matrices de carga mediante pasos riemannianos y actualiza los parámetros escalares ($\theta^2_{t,i}, b_i, \sigma^2_h$) mediante maximizadores condicionales de forma cerrada (resolviendo ecuaciones cúbicas para $b_i$).
4. Gaussianización y Calibración: Una capa opcional de gaussianización coordenada a coordenada (por ejemplo, Transformación Inversa Normal basada en Rangos) extiende la aplicabilidad a observaciones sub-gaussianas. La incertidumbre de predicción se calibra mediante un factor de dispersión $\hat{\kappa}$ derivado de los residuos de validación, asegurando una cobertura casi nominal sin recalibración post-hoc.

Contribuciones Clave

• Estimación de Ruido Óptima en Tasa: Los autores demuestran que el estimador del subespacio de ruido propuesto alcanza una tasa de error de muestra finita independiente de la fuerza de la señal (Teorema 1) y coincide con un límite inferior minimax (Teorema 2). Por el contrario, demuestran que el estimador de espectro completo utilizado en trabajos anteriores es inconsistente, sufriendo un sesgo determinista que no desaparece con el tamaño de la muestra (Proposición 1).
• Optimización en Variedad Exacta con Garantías de Inferencia: Al optimizar en la variedad de Stiefel exacta, el método asegura factibilidad estricta de ortogonalidad. Se demuestra que el estimador resultante es consistente y asintóticamente normal. Crucialmente, la matriz de información de Fisher exhibe una estructura de bloque diagonal, lo que permite la derivación de errores estándar de forma cerrada para los parámetros sin bootstrapping de Monte Carlo (Proposición 6).
• Alcance de Modelado Extendido: El marco acomoda datos no gaussianos mediante gaussianización opcional, interpretando la verosimilitud como una cuasi-verosimilitud gaussiana. El análisis teórico muestra que esto reduce el sesgo de curtosis excesiva a $O(1/N)$ (Corolario 2).
• Selección de Rango: Se propone un procedimiento de dos etapas para la selección de rango basada en datos utilizando BIC, con garantías teóricas sobre consistencia y umbrales de detectabilidad de factores débiles (Proposiciones 7 y 8).

Resultados Experimentales

• Rendimiento Sintético: En regímenes de alto ruido, los solucionadores de ruido fijo propuestos (SLM-Manifold y BCD-SLM) superan significativamente a EM/ECM en la recuperación de parámetros de acoplamiento ($B, \Sigma_t$) y matrices de carga, particularmente cuando $p=q=500$. Los métodos logran una cobertura de intervalos predictivos casi nominal (por ejemplo, 95% de cobertura a nivel nominal del 95%) sin ajuste post-hoc.
• Benchmarks del Mundo Real:
  • TCGA-BRCA: El método logra una precisión de predicción puntual comparable a la regresión Ridge (MSE $\approx$ 0.45) con solo $r=3$ componentes, mientras proporciona incertidumbre calibrada nativa. En contraste, PO2PLS (que añade componentes ortogonales específicos de la vista) logra un MSE similar pero carece de incertidumbre predictiva nativa y no supera al enfoque de ruido fijo.
  • PBMC CITE-seq: Aunque las líneas base profundas no lineales (DCCA, KCCA) logran un MSE puntual ligeramente inferior, requieren una extensa recalibración post-hoc para lograr una incertidumbre utilizable. El pipeline PPLS de ruido fijo proporciona una precisión competitiva (MSE $\approx$ 0.259) con calibración nativa del modelo y factores interpretables, evitando la necesidad de etapas externas de recalibración.
• Eficiencia Computacional: La optimización en forma escalar ofrece una aceleración de $O(p/r)$ sobre las evaluaciones en forma matricial. BCD-SLM converge más rápido que la optimización riemanniana completa, con tiempos de ejecución en el rango de segundos a decenas de segundos para $p=q=500$.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma que la optimización directa de la verosimilitud PPLS en la variedad producto de Stiefel, combinada con una estimación de ruido pre-estimada espectralmente, produce un pipeline probabilístico lineal práctico con calibración de incertidumbre nativa del modelo.

Los autores posicionan su trabajo como un cambio desde el "mejor número único de calibración" (a menudo logrado por modelos profundos solo después de una reparación post-hoc frágil) hacia la simplicidad de despliegue, la interpretabilidad y la reducción de la fragilidad de la calibración. Argumentan que, aunque PO2PLS es superior para descomponer estructuras específicas de la vista, el pipeline PPLS de ruido fijo es la herramienta apropiada cuando el objetivo es la predicción cruzada de vistas calibrada. El método se presenta como una alternativa robusta a EM/ECM en entornos de alto ruido y como un cuantificador de incertidumbre más fiable que las líneas base de aprendizaje profundo que carecen de estructura probabilística nativa.

Los autores permanecen modestos respecto a problemas abiertos, señalando que un análisis del paisaje global para el caso general de PPLS (más allá del submanifold PCCA) sigue abierto, al igual que el desarrollo de un estimador de ruido unificado que sea tanto consistente como agnóstico al rango.