Radiative correction to the charge asymmetry in $e^{+}e^{-}\to\mu^{+}\mu^{-}$ process

Resumen Técnico: Corrección radiativa a la asimetría de carga en el proceso $e^+e^- \to \mu^+\mu^-$

Problema y Motivación
La producción de pares de muones en la aniquilación electrón-positrón ($e^+e^- \to \mu^+\mu^-$) es un proceso fundamental en la Electrodinámica Cuántica (QED). Si bien su aproximación de Born es simple, la precisión experimental moderna en los colisionadores requiere predicciones teóricas más allá del Orden Principal (LO). Las correcciones de Orden Siguiente al Principal (NLO) se han establecido durante décadas. Sin embargo, la búsqueda de una precisión de Orden Siguiente al Siguiente al Principal (NNLO) está impulsada ahora por los requisitos de los experimentos en curso y futuros.

Este proceso cumple una doble función: como canal clave para la determinación de la luminosidad y como un fondo significativo para la búsqueda de eventos raros y Nueva Física. Además, las predicciones teóricas precisas son esenciales para mediciones de observables como el factor de forma del pión, que contribuye a la corrección de polarización del vacío hadrónico para el momento magnético anómalo del muón ($(g-2)_\mu$).

La sección eficaz diferencial para este proceso se descompone naturalmente en partes par (C-even) e impar (C-odd). La parte par, simétrica bajo $\theta \to \pi - \theta$, fue calculada exactamente en la masa del muón en un trabajo anterior de los autores [1]. La parte impar, responsable de las asimetrías angulares y adelante-atrás, se anula a nivel de Born. En consecuencia, su contribución principal aparece solo en NLO, lo que hace que la corrección de dos bucles (NNLO) sea particularmente significativa en relación con la sección eficaz par. Este artículo se centra en completar el cálculo analítico de la sección eficaz diferencial NNLO abordando la parte impar.

Metodología
Los autores calculan las correcciones QED NNLO a la parte impar de la sección eficaz diferencial. El cálculo implica evaluar amplitudes virtuales de dos bucles y correcciones radiativas reales.

1. Descomposición de la Amplitud: La amplitud NNLO completa se descompone en conjuntos invariantes de gauge de diagramas reducibles a $n\gamma$ (diagramas que contienen $n$ líneas de fotón intermedias). Los autores se centran en la amplitud $A^{(2)}_{2\gamma}$ (dos bucles, reducible a dos fotones), que introduce un nuevo ingrediente en comparación con cálculos anteriores.
2. Tratamiento de la Masa: La masa del muón $m_\mu$ se mantiene exacta durante todo el cálculo para asegurar la aplicabilidad a procesos que involucran tauones y para manejar mediciones específicas de fondo. La masa del electrón $m_e$ se trata como un parámetro pequeño para regular las divergencias colineales, dando lugar a logaritmos grandes de la forma $\ln(s/m_e^2)$. Las correcciones de potencia en $m_e$ se desprecian.
3. Renormalización y Factorización: Se utiliza la regularización dimensional ($d=4-2\epsilon$) para las divergencias UV e IR. Un procedimiento de renormalización en la capa de masa elimina las divergencias UV. Las divergencias IR suaves se factorizan utilizando el formalismo estándar donde la amplitud se expresa como $A = e^V H$, con $V$ que contiene las singularidades suaves y $H$ siendo la amplitud dura finita.
4. Integrales Maestras: El cálculo de la amplitud dura $H^{(2)}_{2\gamma}$ depende de la evaluación de integrales maestras.
   • Los diagramas que involucran logaritmos de la masa del electrón (donde $L_e=1$) utilizan resultados de la Ref. [6], que emplean una expansión de Frobenius en $m_e$.
   • Los diagramas sin logaritmos de la masa del electrón se calculan por separado, permitiendo establecer $m_e=0$ para simplificar el cálculo.
   • Los autores derivan 42 integrales maestras para la contribución muónica a la amplitud reducible a $2\gamma$ utilizando reducción IBP (LiteRed) y resolviendo ecuaciones diferenciales en forma-$\epsilon$ (Libra). Los resultados se expresan en términos de polilogaritmos de Goncharov $G(\vec{w}|\beta)$.
5. Polarización del Vacío Hadrónico (HVP): La contribución de la polarización del vacío hadrónico se incluye mediante una relación de dispersión restada. La parte imaginaria del operador de polarización se extrae de la relación $R(s)$ de las secciones eficaces de producción de pares hadrónicos y de muones. Esta contribución se integra sobre la función espectral para obtener la corrección HVP a la amplitud.
6. Análisis Asintótico: Los autores calculan tanto las asintóticas de umbral como de alta energía. El límite de alta energía implica expandir polilogaritmos y utilizar el algoritmo PSLQ para expresar los coeficientes en términos de polilogaritmos clásicos.

Contribuciones y Resultados Clave

• Cálculo Analítico: El artículo proporciona la expresión analítica exacta para la parte impar de la sección eficaz diferencial NNLO para $e^+e^- \to \mu^+\mu^-$. Esto completa el cálculo NNLO de la sección eficaz diferencial, complementando la parte par calculada en la Ref. [1].
• Amplitudes Duras: Los autores presentan las amplitudes invariantes duras $H^{(2)}_{2\gamma}$ en términos de polilogaritmos de Goncharov. Estas expresiones se proporcionan en archivos auxiliares legibles por computadora.
• Correcciones de Asimetría:
  • Se derivan las correcciones relativas a la sección eficaz impar, $\delta^{(1)}_{C-odd}$ (NLO) y $\delta^{(2)}_{C-odd}$ (NNLO).
  • La asimetría angular $A(c)$ y la asimetría adelante-atrás $A_{FB}$ se calculan hasta NNLO.
  • Los autores demuestran que los términos que dependen del corte de fotón suave $\omega_0$ se cancelan en la definición de la asimetría $A^{(2)}$, haciendo que el resultado sea independiente del parámetro de corte suave.
• Resultados Numéricos:
  • Para una energía de haz de 1 GeV, la corrección impar de un bucle es del orden del 10%, mientras que la corrección de dos bucles es del orden del 1%. La corrección de dos bucles tiene el signo opuesto a la contribución de un bucle.
  • Se encuentra que la contribución de dos bucles a la asimetría adelante-atrás ($A^{(2)}_{FB}$) está a nivel de $10^{-4}$.
  • El valor finito de $A^{(2)}_{FB}$ en el umbral de producción de pares de muones se calcula como $5/3 \alpha^2$.
  • Se evalúa la contribución HVP a la asimetría adelante-atrás, mostrando un comportamiento dependiente de los datos experimentales para las secciones eficaces hadrónicas.
• Contribución del Bosón Z: El artículo incluye una estimación de la contribución del intercambio de bosón Z a nivel árbol a la asimetría adelante-atrás para comparación, señalando que se vuelve significativa a energías más altas (alrededor de 2 GeV).

Significado
El artículo afirma completar el cálculo analítico de la sección eficaz diferencial $e^+e^- \to \mu^+\mu^-$ en NNLO en QED. Al proporcionar la parte impar, los autores habilitan predicciones teóricas precisas para las asimetrías angulares y adelante-atrás. Estos resultados están destinados a apoyar experimentos de alta precisión en colisionadores $e^+e^-$, particularmente para la determinación de luminosidad y la estimación de fondos para búsquedas de Nueva Física. El trabajo también proporciona la entrada teórica necesaria para procesos donde esta reacción sirve como fondo para medir el factor de forma del pión, relevante para la anomalía $(g-2)_\mu$. Los resultados son aplicables a cualquier polarización de las partículas involucradas, aunque el artículo se centra en el caso no polarizado para ilustraciones numéricas.